2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.5空间直线、平面的垂直（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.5空间直线、平面的垂直（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为( )
A.32B.217
C.77D.277
3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m
B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m
D.若l⊥m，则α⊥β
6.(2024·安徽省皖江名校联盟联考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4
B.四棱锥C-ABC1D1的体积为13
C.异面直线D1C和BC1所成的角为π3
D.二面角C-BC1-D的余弦值为-33
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是 .
8.(2024·菏泽模拟)某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为32，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 .
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·绵阳模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(5分)
(2)证明：平面PAC⊥平面PBC.(8分)
10.(15分)(2024·淮安模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，G为△A1BC的重心，∠A1AB=∠A1AC=60°.
(1)求证：B1B⊥BC；(7分)
(2)已知A1A=2，P∈平面ABC，且C1P⊥平面A1BC.求证：AG∥C1P.(8分)
每小题5分，共10分
11.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A.12B.1C.2D.3
12.(2025·长沙模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M是棱CC1的中点，正方体表面上的动点P满足DP⊥BM，则动点P的轨迹长度为 .
答案精析
1.A [用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，
当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，
反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，
所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.]
2.B [∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.又B1C1＝1，B1D＝32，可得C1D＝72，sin∠DC1B1＝B1DC1D＝217，∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D与平面ABC所成角的正弦值为sin∠DC1B1＝217.]
3.A [由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.]
4.D [由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，
又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，即AC⊥BD，
而SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确；
SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD，
又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，即AD⊥CD，
而SD∩CD＝D，
SD，CD⊂平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，故AD⊥SC，B正确；
由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正确；
SD⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，
故SD⊥BD，若BD⊥SA，
而SD∩SA＝S，
SD，SA⊂平面SAD，
故BD⊥平面SAD，
AD⊂平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA＝90°，
这与正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，D错误.]
5.ABD [若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；
若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；
若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.]
6.ABC [如图所示，
取BC1的中点H，连接CH，
则CH⊥BC1，
因为AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1，
所以CH⊥AB，
又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，
则CH⊥平面ABC1D1，
所以直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠C1BC＝π4，故A正确；
点C到平面ABC1D1的距离为
CH＝22，
则VC-ABC1D1＝13AB·BC1·CH＝13×1×2×22＝13，故B正确；
易证BC1∥AD1，
所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，
连接AC，因为△ACD1为等边三角形，所以异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C正确；
连接DH，由BD＝DC1，
所以DH⊥BC1，
又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C－BC1－D的平面角，
易求得DH＝62，
又CD＝1，CH＝22，
在△CDH中，由余弦定理可得
cs∠CHD＝DH2+CH2-CD22DH·CH＝33，故D错误.]
7.平行
解析 依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.
8.π3
解析 如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，则圆柱的底面圆的半径为b，
∠ABC即为“切面”所在平面与底面所成锐二面角的平面角，
由题意得|AB|＝2a，
|DE|＝|BC|＝2b，
因为ca＝32，c2＝a2－b2，
所以a＝2b，
则cs∠ABC＝|BC||AB|＝2b2a＝12，又∠ABC∈0，π2，故∠ABC＝π3.
9.(1)解 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，且PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，
由题意得AB＝2CD＝2AD＝2BC＝2，则∠ABC＝60°，
所以等腰梯形ABCD的高为32，
所以V四棱锥P－ABCD＝13S梯形ABCD·PA＝13×12×3×32×1＝34.
(2)证明 因为BC＝1，AB＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理得AC＝3，
所以AB2＝AC2+BC2，
所以∠ACB＝90°，AC⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，且AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
10.证明 (1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，连接A1G并延长，交BC于点D，连接AD，
由G为△A1BC的重心，
得D为BC的中点.
由AB＝AC，A1A＝A1A，∠A1AB＝∠A1AC，
得△A1AB≌△A1AC，
则A1B＝A1C，
因此AD⊥BC，A1D⊥BC，
又AD∩A1D＝D，AD，
A1D⊂平面A1AD，
于是BC⊥平面A1AD，
而A1A⊂平面A1AD，
则BC⊥A1A，
又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC.
(2)由A1A＝AB＝2，
∠A1AB＝60°，
得△A1AB为正三角形，
同理△A1AC也为正三角形，
则A1B＝A1C＝BC＝2，
从而三棱锥A－A1BC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，
由G为△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC，在菱形ACC1A1中，AC1过A1C的中点，
即直线AC1与平面A1BC的交点为A1C的中点，因此G不在直线AC1上，又C1P⊥平面A1BC，
所以AG∥C1P.
11.B [方法一 分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝33，A1D1＝3，
可知S△ABC＝12×6×33＝93，
S△A1B1C1＝12×2×3＝3，
设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，
则V三棱台ABC-A1B1C1＝13×93+3+93×3h＝523，
解得h＝433，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
设AM＝x，
则AA1＝AM2+A1M2
＝x2+163，
DN＝AD－AM－MN＝23－x，
可得DD1＝DN2+D1N2
＝(23-x)2+163，
结合等腰梯形BCC1B1可得
BB12＝6-222+DD12，
即x2+163＝(23－x)2+163+4，
解得x＝433，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝A1MAM＝1.
方法二 将正三棱台ABC－A1B1C1补成正三棱锥
P－ABC，
则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，
因为PA1PA＝A1B1AB＝13，
则V三棱锥P-A1B1C1V三棱锥P-ABC＝127，
可知V三棱台ABC-A1B1C1＝2627V三棱锥P－ABC＝523，则V三棱锥P－ABC＝18，
设正三棱锥P－ABC的高为d，
则V三棱锥P－ABC＝13d×12×6×6×32＝18，解得d＝23，
取△ABC的中心为O，
则PO⊥底面ABC，且AO＝23，
所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝POAO＝1.]
12.4+25
解析 如图，分别取A1D1，B1C1的中点E，F，连接DE，EF，CF，
因为CD⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，
所以BM⊥CD.
在Rt△BCM，Rt△CC1F中，
BC＝CC1，CM＝C1F，
∠BCM＝∠CC1F＝90°，
所以Rt△BCM≌Rt△CC1F，
所以∠CBM＝∠FCC1，
又∠BCM＝∠BCF+∠FCC1
＝90°，
所以∠BCF+∠CBM＝90°，所以BM⊥CF.
又CF∩CD＝C，CF，CD⊂平面CDEF，
所以BM⊥平面CDEF，
由DP⊥BM，得点P的运动轨迹为四边形CDEF(点D处除外)，
四边形CDEF的周长为4+25，
因此动点P的轨迹长度为4+25.