（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 立体几何 第04讲 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点必背
知识点一：直线与平面垂直
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
2、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
3、直线和平面垂直的性质定理
3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
知识点二：直线与平面所成角
1、直线与平面所成角定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
2、直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点三：二面角
1、二面角定义
（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
2、二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
3、二面角的平面角的取值范围：
4、二面角平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法
知识点四：平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
高频考点一：直线与直线垂直
例题1．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，.求证：.
例题2．如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若，分别为棱，的中点，求证：.
练透核心考点
1．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
高频考点二：直线与平面垂直
角度1：判断线面垂直
例题1．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，， B．，
C．， D．，
例题2．如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（ ）

A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
角度2：证明线面垂直
例题1．在四面体中，四边形是矩形，且.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
例题2．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)设，求三棱锥的体积．
角度3：补全线面垂直的条件
例题1．如图，四边形为矩形，平面，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)试确定当中与满足什么关系时，平面？并说明理由．
例题2．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
考点二练透核心考点
1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
高频考点三：线面垂直的性质
例题1．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：
(1)平面；
(2).
例题2．如图，在四棱锥中，面，，，，，，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求证：．
练透核心考点
1．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
高频考点四：平面与平面垂直
角度1：判断面面垂直
例题1．如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
角度2：补全面面垂直的条件
例题1．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

例题2．如图示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点．
(1)求证：面；
(2)求多面体的体积；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由．
考点四练透核心考点
1．设l是直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.若，求证：平面平面.

高频考点五：面面垂直的性质
例题1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．求证：平面；
练透核心考点
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，求证：.

高频考点六：直线与平面所成角
例题1．（2023春·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

例题2．如图，在四棱锥中，，，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
练透核心考点
1．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.

(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
第04讲 空间直线、平面的垂直
1．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．线段的长是（ ）
A． B． C． D．
3．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ）
A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD
5．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积是（ ）

A．6 B．9 C．18 D.12
6．如图，在正三棱柱中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．
7．在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为__________．
8．如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，F是PB的中点，连接AC，BD，且AC与BD交于点E，连接EF.

(1)求证：平面PCD；
(2)求证：平面平面PAC.
9．如图所示，直三棱柱中，，，、分别是、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求证：平面平面；