2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.7向量法求空间角（一）（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.7向量法求空间角（一）（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于( )
A.40°B.50°
C.130°D.以上均错
2.(2024·呼和浩特模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，则直线PC与平面PBD所成角的余弦值为( )
A.223B.33C.13D.63
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为( )
A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆
4.如图，在四棱锥A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE=3，AB=CB=AC=2DE=2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为( )
A.13013 B.21313
C.1313 D.13026
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，则( )
A.OC·AB=4
B.异面直线OC与AB所成角等于π3
C.平面AOC的一个法向量可以是(0，1，0)
D.直线OB与平面AOC所成角的正弦值为23
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，M，N分别为PB，CD的中点，E为棱AD上一动点.若∠MEN为钝角，则AE的长可能为( )
A.13B.12C.1D.2
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·福州模拟)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为 .
8.(2025·张家口模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n=(μ，v，ω)(μvω≠0)的直线l的方程为x-x0μ=y-y0v=z-z0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x+z-7=0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为x3=y2=z-3，则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·贵阳模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=4，A1C1=B1C1=CC1=2.
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值；(6分)
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.(7分)
10.(15分)(2025·咸阳模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，E为BB1的中点，直线B1C1与平面AD1E交于点F.
(1)证明：F为B1C1的中点；(6分)
(2)若直线AC与平面AD1E所成的角为π3，求AA1的长.(9分)
每小题5分，共10分
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1(包括边界)上运动，满足AP⊥BD1.记直线C1P与平面ACB1所成的角为α，则sin α的最大值为( )
A.33B.24C.63D.144
12.(2024·重庆模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，E，F分别是棱A1B1，CC1上的两个动点，且B1E=CF，则异面直线BE与AF所成角的余弦值的取值范围是 .
答案精析
1.A [因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°－90°＝40°.]
2.A [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设AB＝1，
则B(1，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，1，－1)，PC＝(1，1，－1)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则PB·n＝x-z＝0,PD·n＝y-z＝0,
令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
sin θ＝|cs〈PC，n〉|＝|PC·n||PC||n|＝|1+1-1|3×3＝13，
又θ∈0，π2，所以cs θ＝223.]
3.C [以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，设Q(x，y，1)，
可得DQ＝(x，y，1)，DA1＝(1，0，1)，
因为直线DQ与DA1所成的角为45°，
则cs 45°＝|DQ·DA1||DQ||DA1|
＝x+1|x2+y2+1×2＝22，
化简可得y2＝2x，
所以点Q的轨迹为抛物线.]
4.A [如图所示，取BC的中点F，连接AF，DF，
可得DF∥BE，
因为BE⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC，
又由AB＝CB＝AC且F为BC的中点，所以AF⊥BC，
以F为坐标原点，AF，BF，DF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(3，0，0)，E(0，1，3)，
C(0，－1，0)，D(0，0，3)，
故CD＝(0，1，3)，
AE＝(－3，1，3)，
则cs〈CD，AE〉＝CD·AE|CD||AE|＝1010×13＝13013.]
5.ACD [∵A(1，0，0)，B(1，2，－2)，C(0，0，－2)，OC＝(0，0，－2)，
AB＝(0，2，－2)，
∴OC·AB＝(－2)×(－2)＝4，故A正确；
设OC与AB所成的角为θ，
则cs θ＝|OC·AB||OC||AB|＝42×22＝22，
且θ∈0，π2，∴θ＝π4，故B不正确；
设平面AOC的法向量为n＝(x，y，z)，
∵OA＝(1，0，0)，OC＝(0，0，－2)，
∴OA·n＝0,OC·n＝0,即x＝0,-2z＝0,
解得x＝0,z＝0,
∴n＝(0，1，0)，故C正确；
OB＝(1，2，－2)，设直线OB与平面AOC所成的角为θ，
则sin θ＝|OB·n||OB||n|＝23×1＝23，故D正确.]
6.AB [由题意得△ABC为等边三角形，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，F为BC的中点，
则P(0，0，2)，F(3，0，0)，
B(3，－1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，
∴M32，-12，1，N32，32，0，
令AE＝t(0≤t≤2)，
∴E(0，t，0)，
∴EM＝32，-12-t，1，
EN＝32，32-t，0，
依题意∠MEN＝〈EM，EN〉为钝角，
∴EM·EN
＝34+-12-t32-t