2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第三章进阶篇不等式恒（能）成立问题进阶1参数全分离（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第三章进阶篇不等式恒（能）成立问题进阶1参数全分离（Word版附答案），共3页。试卷主要包含了已知函数f=x3eax-1等内容，欢迎下载使用。
分值：34分
1.(17分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(8分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围.(9分)
2.(17分)已知函数f(x)=x3eax-1.
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3ln x对x∈(0，+∞)恒成立，求m的取值范围.(9分)
答案精析
1.解 (1)函数f(x)=ax-ln x，求导得f'(x)=a-1x，
由x∈[1，2]，得1x∈12，1，
当a≤12时，f'(x)≤0，
当且仅当a=12，x=2时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1时，f'(x)≥0，当且仅当a=1，x=1时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
当120，得1a0，得00，得t>1，
所以g(t)min=g(1)=0，
所以t-1-ln t≥0.
取t=x3e2x，
则x3e2x-1-ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x-3ln x-1≥2x，
所以x3e2x-3lnx-1x≥2.
设h(x)=x3e2x，
因为h(0)=01，
所以方程x3e2x=1必有解，
所以当且仅当x3e2x=1时，
函数y=x3e2x-3lnx-1x(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
方法二 (同构法)
x3e2x-3lnx-1x
=e3lnx+2x-3lnx-1x
≥3lnx+2x+1-3lnx-1x=2，
等号成立的充要条件是3ln x+2x=0，
令φ(x)=3ln x+2x，
由φ1e=-3+2e0知，3ln x+2x=0必有解，
故m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].