2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第八章进阶篇圆锥曲线中的综合问题进阶2（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第八章进阶篇圆锥曲线中的综合问题进阶2（Word版附答案），共3页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1.(17分)已知双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)的离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线方程；(7分)
(2)若经过点P(0，-1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，求线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围.(10分)
2.(17分)如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0)，P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E的标准方程；(7分)
(2)过F2作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F1MN面积取最大值时直线l的方程.(10分)
答案精析
1.解 (1)双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)的离心率为2，
a=1，可得c=2，所以b=1，
可得双曲线C：x2-y2=1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
(2)设经过点P的直线方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组x2-y2=1,y=kx-1,
消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0，
所以1-k2≠0,x1+x2=-2k1-k2>0,x1x2=-21-k2>0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,
解得10，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=2a-|PF1|+2a-|QF1|+|PQ|
=4a-(|PF1|+|QF1|-|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a=8，得a=2，
易知c=1，所以b=a2-c2=3，
所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.
(2)如图2，可设直线l：x=my+1，M(x1，y1)，
图2
N(x2，y2)，
由x=my+1,x24+y23=1,
得(3m2+4)y2+6my-9=0，
Δ=144(m2+1)>0，
y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
S△F1MN=12|F1F2||y1-y2|
=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4，
令t=m2+1(t≥1)，
则S△F1MN=12t3t2+1=123t+1t，
由y=3t+1t在[1，+∞)上单调递增，
得S△F1MN=123t+1t≤3，所以S△F1MN的最大值为3，此时m=0，直线l的方程为x=1.