2023-2024学年六年级数学上册——第八单元《数列、算式、数表规律综合》典型例题练习（含答案）

这是一份2023-2024学年六年级数学上册——第八单元《数列、算式、数表规律综合》典型例题练习（含答案），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题。
1．找规律，填数。
10，14，22，38，70，134，( )，( )。
2．找规律填空。
1，2，4，7，( )，16，22，( )。
3．按规律填空：2、5、10、17、26、37…第n个数是( )。
4．按规律填数：1，3，7，13，21，31，( )，( )。
5．计算时，可以转化成：( )－( )，得数是( )。
6．若，则n＝( )。
7．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
8．找规律填空。
(1)，，，，，( )，…
(2)，，( )＝( )。
9．将连续的正整数按下图规律排列，则2016所在的位置是第( )行第( )列。
10．如果，，，依次类推，( )，( )。
二、解答题。
11．有一列数：，，，，，，，…它的前2015个数的和是多少？
12．先计算下面各题，然后找出规律。
（1）＝
（2）＝
（3）＝
13．观察算式的规律：，，，，……。用含字母的式子表示规律：( )。
用规律计算：( )。
14．1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………………
问：2013正下方是多少？
15．“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。
（1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？
（2）填出第5行两个括号中的数。
16．通过计算并观察①②③小题，猜想出④的结果，写出你的发现，并用图形进行说明。
①
②
③…
则：④
发现：____________________________________________________
说明：
17．先观察再解答。
（1）因为×＝1、×＝1，所以和、和叫做互为倒数。下面的两个互为倒数的乘积，你知道是多少吗？直接写出得数。
×＝（ ） ×＝（ ） 2×＝（ ）
（2）你能写出下面各数的倒数吗？

18．刘老师把自然数(0除外)按下面的样子排列．
(1)照下面的规律排下去，第6行有多少个数？第10行有多少个数？
(2)第1行到第6行一共有多少个数？
(3)第1行到第5行所有数相加的和是多少？
19．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（ ）。
下面是三位同学的解法：
（1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。
（2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。
3＋5＋7＋9＋…＋19＋21
20．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第八单元：数列、算式、数表规律综合专项练习
一、填空题。
1．找规律，填数。
10，14，22，38，70，134，( )，( )。
【答案】 262 518
【分析】数列中用后项减去前项，14－10＝4＝2×2，22－14＝8＝2×2×2，依次验证，发现规律就是第几项减去其前项的差就是几个2的乘积，据此解答。
【详解】14－10＝4＝2×2
22－14＝8＝2×2×2
38－22＝16＝2×2×2×2
70－38＝32＝2×2×2×2×2
134－70＝64＝2×2×2×2×2×2
规律：数列的第2项减去第1项的差等于2个2的积，数列的第3项减去第2项的差等于3个2的积……
数列的第7项减去第6项的差等于7个2的积，即（262）－134＝2×2×2×2×2×2×2＝128；
数列的第8项减去第7项的差等于8个2的积，即（518）－262＝2×2×2×2×2×2×2×2＝256。
【点睛】考查探索数的排列规律。
2．找规律填空。
1，2，4，7，( )，16，22，( )。
【答案】 11 29
【分析】根据数字排列的规律，1＋1＝2，2＋2＝4，4＋3＝7，即从第二个数开始依次加从1开始的整数，据此规律可得出答案。
【详解】7＋4＝11，11＋5＝16，16＋6＝22，22＋7＝29。
【点睛】本题主要考查的是找数字排列的规律，解题的关键是找出数字排列的规律，进而计算得出答案。
3．按规律填空：2、5、10、17、26、37…第n个数是( )。
【答案】n2＋1
【分析】观察数列可知，2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，则第n个数是n2＋1。
【详解】由分析可知：
2、5、10、17、26、37…第n个数是n2＋1。
【点睛】本题考查数字的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
4．按规律填数：1，3，7，13，21，31，( )，( )。
【答案】 43 57
【分析】根据题意可知，1＝1，3＝1＋2，7＝1＋2＋4，13＝1＋2＋4＋6，21＝1＋2＋4＋6＋8，31＝1＋2＋4＋6＋8＋10，据此可知下一个数比31多加12，也就是43，再下一个数比43多加14，以此类推。
【详解】31＋12＝43
43＋14＝57
1，3，7，13，21，31，43，57。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
5．计算时，可以转化成：( )－( )，得数是( )。
【答案】 1
【分析】把整个图形的面积看作单位“1”，表示阴影部分的面积，根据“阴影部分的面积＝1－空白部分的面积”求出的结果，据此解答。
【详解】
＝1－
＝
所以，计算时，可以转化成：1－，得数是。
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，把算式转化为图形进行分析是解答题目的关键。
6．若，则n＝( )。
【答案】89
【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝4
1＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝9
1＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16
……
1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝ []2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，据此求出n的值。
【详解】根据分析可知，[]2＝2025
（1＋n）2＝2025×4
（1＋n）2＝8100
（1＋n）2＝902
1＋n＝90
n＝90－1
n＝89
若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，则n＝89。
7．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
【答案】28
【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个；
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）
＝10＋10＋8
＝20＋8
＝28
则按规律，是这列分数中的第28个。
【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
8．找规律填空。
(1)，，，，，( )，…
(2)，，( )＝( )。
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据观察可知，分母依次乘2，分子依次加2，则下一个分数，分母为32×2＝64，分子为9＋2＝11；
（2）根据观察可知，分母的排列顺序为前一个分母乘2，分子都是1，这样的分数相加之后的和等于1减去最后一个加上的分数，据此分析解答。
【详解】（1），，，，，，…
（2）
【点睛】找到分数的排列规律是解题的关键。
9．将连续的正整数按下图规律排列，则2016所在的位置是第( )行第( )列。
【答案】 10 45
【分析】根据题意可知，第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至于行数相同的列止，根据此规律求出与2016最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。
【详解】根据分析可知，第一行的第1、3、5列的数分别是1、9、25，为所在列数的平方；然后向下每一行递减1与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别是4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1止于行数相同为止。
因为452＝2025；
2025－2016＋1
＝9＋1
＝10
所以在第10列第45行。
将连续的正整数按下图规律排列，则2016所在的位置是第10列第45行。
【点睛】通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
10．如果，，，依次类推，( )，( )。
【答案】 24 6.2
【分析】观察等式可发现规律，，表示从1开始连续个自然数相乘，再求出、、时式子的值，最后根据四则运算的顺序求出的值，据此解答。
【详解】
＝
＝
＝
所以，24，。
【点睛】根据题中给出的算式找出新运算的规律是解答题目的关键。
二、解答题。
11．有一列数：，，，，，，，…它的前2015个数的和是多少？
【答案】1007.5
【详解】以1为分母的数有1个，相加和S1＝1，
以2为分母的数有2个，相加和S2＝+＝，
以3为分母的数有3个，相加和S3＝++＝2，…
以n为分母的数有n个，相加和Sn＝++…+＝＝，
求前2015个数的和，先确定第2015个数分母是什么，即求满足 1+2+3+4…+m＝≥2015的最小整数n，易得n＝63，62×63÷2＝1953，
分母为63的数有2015﹣1953＝62个，即、、、…、，
则前2015个数的和是：
S＝S1+S2+…S62++++…+
＝（1+2+3+…62）÷2+（1+2+3+…+62）÷63
＝（1+62）×62÷2÷2+（1+62）×62÷2÷63
＝976.5+31
＝1007.5
答：它的前2015个数的和是1007.5．
12．先计算下面各题，然后找出规律。
（1）＝
（2）＝
（3）＝
【答案】（1）；（2）；（3）
规律：后一种加数是前一个加数的一半的连加算式的和是：1减最后一个加数的差，即分母是最后一个加数的分母，分子比分母少1。
【分析】这三个算式中每一个相加的加数中后一个加数的分母是前一个加数分母的2倍，可以利用拆项法分别算出算式（1）和是、算式（2）和是、算式（3）和是，通过比较可知，这三个算式的和正好分别是1减最后一个加数的差，由此解答。
【详解】（1），
＝
＝1－＋－＋－
＝1－
＝
（2）＋＋＋
＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝1＋－＋－＋－
＝1－
＝
（3）＋＋＋＋
＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝1－＋－＋－＋－＋－
＝1－
＝
规律是：后一种加数是前一个加数的一半的连加算式的和是：1减最后一个加数的差，即分母是最后一个加数的分母，分子比分母少1。
【点评】此题主要考查利用拆项法求和的方法。
13．观察算式的规律：，，，，……。用含字母的式子表示规律：( )。
用规律计算：( )。
【答案】 n2−（n−1）2＝n＋n＋1 210
【分析】观察题目给出的算式，发现前一个数都比后一个数大1，而且前一个数的平方减去后一个数的平方最终等于前数加后数，由此可得到规律。
【详解】（1）n2−（n−1）2＝n＋n＋1
（2）
＝20＋19＋18＋17＋……＋2＋1
＝20×10＋10
＝200＋10
＝210
【点睛】本题考查学生的观察能力，找到规律然后利用规律是解题的关键。
14．1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………………
问：2013正下方是多少？
【答案】2076
【分析】由题意可知：第几行就有几个数字，第n行就有n个数字，那么前n行共有1+2+3+…+n=n（n+1）÷2个数字，而63×64÷2=2016，所以2013在第63行，那么前62行共有62×（62+1）÷2=1955，所以第63行第一个数字是1996，2013在第63行第60个数字，而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076，据此解答即可．解答本题的关键是正确理解其中的规律，进而找出2013所在的行，所在行中的第几个数字，确定下一行从几开始即可．
【详解】因为：63×64÷2=2016
所以2013在第63行第60个数字
而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076
答：2013正下方是2076．
15．“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。
（1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？
（2）填出第5行两个括号中的数。
【答案】（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）27；52
【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数；
（2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。
【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）20＋7＝27；37＋15＝52
【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。
16．通过计算并观察①②③小题，猜想出④的结果，写出你的发现，并用图形进行说明。
①
②
③…
则：④
发现：____________________________________________________
说明：
【答案】①
②
③
④
发现及说明见详解
【详解】①
②
③…
则：④
发现：计算结果以最后一个分数的分母作分母，分子等于分母减1。
如图：依次选取余下的一半，就会出现这种情况：
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
17．先观察再解答。
（1）因为×＝1、×＝1，所以和、和叫做互为倒数。下面的两个互为倒数的乘积，你知道是多少吗？直接写出得数。
×＝（ ） ×＝（ ） 2×＝（ ）
（2）你能写出下面各数的倒数吗？

【答案】（1）1；1；1；
（2）；；；；
【分析】（1）观察已知算式可知：两个互为倒数的数的乘积是1；
（2）观察已知算式可得：求真分数、假分数的倒数，将分子和分母互换位置即可；据此解答。
【详解】（1）×＝1 ×＝1 2×＝1
（2）的倒数是
的倒数是
的倒数是
的倒数是
的倒数是
【点睛】理解已知算式，找出两个互为倒数的数的乘积是1、求真分数、假分数的倒数，将分子和分母互换位置即可，是解题的关键。
18．刘老师把自然数(0除外)按下面的样子排列．
(1)照下面的规律排下去，第6行有多少个数？第10行有多少个数？
(2)第1行到第6行一共有多少个数？
(3)第1行到第5行所有数相加的和是多少？
【答案】(1)第6行有：6×2－1＝11(个)
第10行有：10×2－1＝19(个)
(2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝36(个)
(3)1＋2＋3＋…＋25＝325 点拨：因为第5行有5×2－1＝9(个)数，所以从第1行到第5行一共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)数，这25个数就是1～25，再求和．
【详解】略
19．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（ ）。
下面是三位同学的解法：
（1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。
（2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。
3＋5＋7＋9＋…＋19＋21
【答案】（1）小刚；小红；小丽；
（2）120
【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确；
（2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。
【详解】（1）
（2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21
＝（3＋21）×10÷2
＝120
【点睛】本题考查了奇数列的连加，有一定计算能力是解题的关键。
20．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
【答案】（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
□小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。
□小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。
□小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。
□小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。
□小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。
□小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。
小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。
小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。
小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。