上海市行知中学2024-2025学年高三下学期6月质量检测数学模拟试题（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 已知集合，，则 ___________；
2. 若椭圆 的焦距是2，则其离心率为___________.
3. 不等式：的解集是_________.
4. 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.
5. 已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.．
6. 双曲线的焦点坐标为___________．
7. 有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.这两个人在同一层离开电梯的概率是______.
8. 设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______.
9. 已知函数，则的值域是________．
10. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______.

11. 有以下四个结论：
①已知光线通过点，被直线反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是
②已知实数满足方程，则的最大值为
③圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
④满足条件，的的面积的最大值为
所有正确结论的序号是___
12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
二、单选题(本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 5 分)
13. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ）
三、多选题(本大题共 1 小题，每小题 6 分，共 6 分)
14. 已知与之间的四组数据如下表：
上表数据中的平均值为，若某同学对赋了两个值，分别为，，得到两条回归直线的方程分别为，，对应的相关系数分别为，，则（ ）
四、单选题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)
15. 若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ）
16. 如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ）
五、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
(1)求证：平面.
(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值.
18. 已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
19. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是．
（1）分别求出小球落入袋和袋中的概率；
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数．求的分布列、数学期望和方差．
20. 已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.
(1)求双曲线E的标准方程：
(2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.
21. 已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．
(1)求；
(2)证明：对任意正整数，都有；
(3)若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
上海市行知中学2024-2025学年高三下学期6月质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面解析几何、等式与不等式、平面向量、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、函数与导数、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．，
B．与相交，且交线平行于
C．，
D．与相交，且交线垂直于
2
3
4
5
1.5
3.5
A．两条回归直线的交点为
B．
C．
D．
A．
B．对，都成立
C．，使得
D．对，都成立
A．
B．
C．
D．
题型
数量
填空题
12
单选题
3
多选题
1
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
7
适中
10
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
3
0.85
分式不等式
4
0.65
向量夹角的计算
5
0.65
复数代数形式的乘法运算；复数范围内方程的根；复数的相等
6
0.85
求双曲线的焦点坐标；求双曲线的顶点坐标；求双曲线的实轴、虚轴
7
0.85
计算古典概型问题的概率
8
0.65
其他组合计数模型
9
0.65
三角函数图象的综合应用
10
0.65
用空间基底表示向量
11
0.65
三角形面积公式及其应用；直线两点式方程及辨析；求点到直线的距离；过圆外一点的圆的切线方程
12
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；基本初等函数的导数公式；导数的加减法
二、单选题
13
0.85
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；线面垂直证明线线平行
15
0.94
函数奇偶性的定义与判断；探求命题为真的充要条件
16
0.85
写出等比数列的通项公式；等比数列的简单应用
三、多选题
14
0.65
求回归直线方程；相关系数的计算；计算样本的中心点
四、解答题
17
0.65
证明线面垂直；求二面角
18
0.65
由递推关系证明等比数列；求等比数列前n项和；写出等比数列的通项公式
19
0.65
建立二项分布模型解决实际问题；二项分布的均值
20
0.4
双曲线中的定值问题；根据离心率求双曲线的标准方程；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
21
0.4
用和、差角的余弦公式化简、求值；函数新定义；利用导数研究函数的零点；二倍角的余弦公式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,15
2
平面解析几何
2,6,11,20
3
等式与不等式
3
4
平面向量
4
5
复数
5
6
计数原理与概率统计
7,8,14,19
7
三角函数与解三角形
9,11,21
8
空间向量与立体几何
10,13,17
9
函数与导数
12,15,21
10
数列
16,18