上海市行知中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（月考）

上海市行知中学2023学年第一学期第一次质量检测

高一年级数学学科试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）

1、已知全集，，，则            .

2、设，则不等式的解集为            .

3、实数、是方程的两个根，则            .

4、用反证法证明命题“若，则或”，则应假设            .

5、若正数a、b满足，则ab的最大值是            .

6、已知集合，.若.则            .

7、已知集合，，则            .

8、已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是            .

9、已知关干x的不等式的解集为，其中.则关于x的不等式的解集是            .

10、关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范用是            .

11、已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是            .

12、设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N.若集合，则            .

二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）

13、设a、b是非零实数，若，则下列不等式成立的是（    ）

A.    B.   C.   D.

14、下列不等式中，与不等式解集相同的是（    ）

A.      B.

C.      D.

15、设，则“且”是“且”的（    ）

A.充分非必要条件       B.必要非充分条件

C.充要条件        D.既非充分又非必要条件

16、用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ）

A.4     B.3     C.2     D.1

三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）

17、（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

关于x的不等式的解集为A，关于y的不等式的解集为B.

（1）求集合A；

（2）若，求实数a的取值范围.

18、（满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

（1）已知实数x、y满足.试比较与的值的大小；

（2）已知集合，集合，证明：.

19、（满分15分，第1小题7分，第2小题8分）

如图，窗框由矩形ABCD和以AB为直径的半圆周构成，现在要制造采光面积为1平方米的窗框.已知制造矩形ABCD的直线型钢材价格为每米10元，制造半圆周的弧形钢材价格为每米20元.（假设钢材厚度忽略不计）

（1）若矩形ABCD的一边AD长度y不能大于1.5米，则半圆周的半径长度x不小于多少米？（结果保留）

（2）问，当半圆周的半径长度x为多少米时，制造窗框的材料价格最低？并求出这个最低价.（结果保留）

20、（满分17分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题7分）

（1）对任意的，使得成立，求实数k的取值范围；

（2）对任意的，使得成立，求实数t的取值范围；

（3）对任意的，存在，使得成立，求实数m的取值范围.

21、（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”.

（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；

（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；

（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M.

上海市行知中学2023学年第一学期第一次质量检测

参考答案

一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）

1、   2、（2，4）  3、13   4、且  5、1

6、0    7、  8、  9、   10、

11、或  12、

二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）

13、C   14、B   15、A   16、B

三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）

17、解：（1），所以；

（2）因为，所以.

，所以或.得或.

18、解：（1）

.

所以，；

（2）任取，则存在.有，

因为.则.所以.因此.

又，但，所以.

19、解：（1）由题意，，

可得，由题意，，

则，

解得，（舍）或，

答：半圆周的半径长度x不小于米；

（2）设材料价格为S元，

，，

，

当且仅当即时等号成立，

答：当半圆周的半径米时制造窗框的材料价格最低，最低价为元.

20、解：（1）由题意得，，

即，所以或；

（2）由题意得，

且，

即且

解得，且，

所以；

（3），

由题意得，，

即，

，

当时，，解得，，

当时，，解得，

综上，或.

21、解：（1）因为，所以E不是“谐调集”，

因为，所以F是“谐调集”：

（2）若存在符合题意的实数z，则

，

，即，解得或或，

当时，则，，不符合题意，

当时，，，

由此，x、y是方程的实数解.

但，方程无实数解，所以不符合题意，

同理，当时，不符合题意，

综上。不存在符合愿意得实数z；

（3）不妨设A中所有元素满足，

则，，

于是，，

即，，

当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，

当时，则，∴，，，∴，

当时，∵，，…，均为正整数，∴，，…，.

∴，

又，∴，即，

但当时，，矛盾.

所以不存在符合题意的“谐调集”

综上，符合题意的“谐调集”为.