上海市高行中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市高行中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷（原卷版+解析版），共16页。
1.答卷时间90分钟，满分100分；
2.请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 直线的倾斜角的取值范围为_________.
2. 已知直线l的方程为，则直线l过定点______.
3. 两条平行直线和的距离为______.
4. 已知直线l经过点，则它的倾斜角为________．
5. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．
6. 与圆，都相切直线有______条．
7. 已知，方程表示圆，则圆心坐标______.
8. 圆的过点的切线的一般式方程为_________.
9. 点关于直线的对称点坐标为____________．
10. 已知直线，若且，则的值为_______
11. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；
12. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______.
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13. 已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A 2B. C. D.
14. 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
15. 已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长4，短轴长为2，焦点在y轴上；
（2）过点，离心率；
18. 已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴､轴上的截距相等.
19. 已知圆．
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
20. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点.
（1）当时，求的面积；
（2）若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程.
上海市高行中学2024学年第二学期3月质量检测
高二数学试卷
考生注意：
1.答卷时间90分钟，满分100分；
2.请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 直线的倾斜角的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】略
【详解】略
2. 已知直线l的方程为，则直线l过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】利用直线过定点的求法即可得解.
【详解】直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过定点.
故答案为：.
3. 两条平行直线和的距离为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】根据平行线间距离公式可得，
故答案为：2
4. 已知直线l经过点，则它的倾斜角为________．
【答案】
【解析】
【分析】两点式求出斜率，进而由反三角函数表示倾斜角.
【详解】斜率，所以倾斜角为．
故答案为：
5. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．
【答案】或
【解析】
【分析】由条件求得，再由焦点在，轴上，求解即可；
【详解】解析：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得，．
所以当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
综上可知，所求椭圆的标准方程为或．
故答案为：或
6. 与圆，都相切的直线有______条．
【答案】3
【解析】
【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数.
【详解】圆的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条．
故答案为：3
7. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次方程表示圆的必要条件平方项的系数相等，求得m的值，然后再利用配方法检验即可.
【详解】由题意得，解得或2.
当时，方程为，即，圆心为；
当时，方程为，即，不表示圆.
故答案为：
8. 圆的过点的切线的一般式方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，
点在圆上,则，
则切线斜率，
则切线的方程为,变形可得;
故答案为:
9. 点关于直线的对称点坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可.
【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称，
所以有，解得，即对称点坐标为.
故答案为：．
10. 已知直线，若且，则的值为_______
【答案】5
【解析】
【分析】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可.
【详解】因，，所以，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：.
11. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；
【答案】4
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．
【详解】因为，
所以.
故答案为：4
【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．
12. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围.
【详解】为椭圆右焦点，连接，如图所示：
分别为的中点，，为直径，，
，
所以点轨迹是以为圆心2为半径的圆，在圆内，
所以的最小值为，最大值为，即的取值范围为.
故答案为：
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13. 已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行的结论求参数的值即可.
【详解】因为直线与平行，所以，得.
故选：D
14. 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题设，，如下图示，所以．
故选：D
15. 已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.
【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，
即，解得：
在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，
由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：
即
故选：C
【点睛】本题考查求直线关于直线的对称方程，属于基础题.
方法点睛：（1）若两条直线不平行，求出交点坐标，则交点在所求直线上；
（2）在已给直线上任取一点，求出此点关于直线的对称点，也在所求直线上；
（3）利用两点坐标求斜率以及直线方程.
16. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：点在以为直径的圆上，即，根据得到离心率的取值范围即可.
【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，即，
由题意可知，圆在椭圆内部，故，
所以，
所以.
故选：C.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
（2）过点，离心率；
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解；
（2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解.
【小问1详解】
根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，
长轴长为4，短轴长为2，即，，
则有，，
故要求椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
若椭圆的焦点在x轴上，设方程为.
则，所以，，，
即椭圆方程为.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，
则，又，解得，
故椭圆方程为.
18. 已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴､轴上截距相等.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由直线的倾斜角为45°，求得斜率，再利用直线的点斜式求解.
（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，分和若两种情况，将代入求解.
【详解】（1）设直线的斜率为，由题意得.
又直线过点，
由直线的点斜式方程可得.
即直线的方程为.
（2）设直线在轴､轴上的截距分别为，，由题意得.
①若，则直线过点，，
可得直线的方程为；
②若，则直线的方程为，
将代入，得，即，
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
19. 已知圆．
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
【答案】（1），圆心坐标，半径为
（2）或
【解析】
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案
【小问1详解】
由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
小问2详解】
由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
20. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程；
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案.
【小问1详解】
设，则，
故，
化简整理得，
故曲线的标准方程为；
【小问2详解】
曲线是以为圆心，1为半径的圆，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求，
当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到的距离，
解得，故切线方程为，即，
综上，过点且与曲线相切的直线方程为或.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点.
（1）当时，求的面积；
（2）若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积.
（2）设椭圆右焦点坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式列式求解.
【小问1详解】
当时，椭圆的焦点，直线，
由消去得，设，
则，，
所以的面积为.
【小问2详解】
设，右焦点，则直线，
由消去得，
则，
，由，得，
即，因此，解得，
所以椭圆C的方程是.