2025-2026学年人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程-章末复习课（基础版） 课件

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人教版九年级(上)数学教学课件第21章 一元二次方程章末复习课(基础版)一元二次方程的概念一元二次方程的解法根的判别式根与系数的关系【例1】(1)若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0(2)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .(3)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次项系数是_ ,常数项是 .A-14-20有根必代AC有根必代-10或1-2一元二次方程的概念一元二次方程的解法根的判别式根与系数的关系【例2】(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( ) A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9(2)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-13x+36=0的根,则该三角形的周长为( 　)A.13 B.15 C.18 D.13或18AA方法指导 利用若ab=0,则a=0或b=0转化为两个一元一次方程来求解．(1)解一元二次方程的基本思想是_____，解法有以下四种： ____________，_______，_______，____________；(2)最常用的两种方法是_______,___________,一定要把原方程化成__________,重点在于掌握_________和_________的方法. 降次直接开平方法配方法公式法因式分解法因式分解法公式法一般形式求根公式因式分解1.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( 　) A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和22.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(　 )A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对3.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形的周长为( ) A.16 B.12 C.16或12 D.24DAB4.用合适的方法解下列一元二次方程 (1)3x(x-1)=2-2x； (2)2(x-3)2=x2-9； (3)(x-4)2-(5-2x)2=0； (4)(x+1)2-3(x+1)+2=0； 一元二次方程的概念一元二次方程的解法根的判别式根与系数的关系方法指导 一元二次方程根的情况与判别式△=b2-4ac的关系为：(1)___________⇔方程有两个不相等的实数根；(2)___________⇔方程有两个相等的实数根；(3)___________⇔方程没有实数根．b2-4ac＞0b2-4ac＝0b2-4ac＜0【例3】下列方程没有实数根是( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0Dac异号,△＞0；c=0,△≥0.1.已知关于x的方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根,则m的取值范围是_______2.关于x的方程mx2-2x+1=0总有实数根,则m应满足的条件是_____3.若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是____m≤114.当k为何值时,关于x的方程(k-1)x2+(2k-1)x+k+1=0有两个不相等的实数根？∴k＜5/4且k≠1解：由题意得： (2k-1)2-4(k-1)(k+1)＞0 k-1≠0 解得： k＜5/4 k≠1 一元二次方程的概念一元二次方程的解法根的判别式根与系数的关系温馨提示本题考查了一元二次方程根与系数的关系:x1+x2=___；x1x2=___.注意：使用根与系数的关系的前提条件是_______.Δ≥0【例4】x1,x2是方程x2-6x+k=0的两根,且满足 ,则k的值 是___.常见的根与系数关系的变形(1)(x1-1)(x2-1)= (2)x12+x22= (3)(x1-x2)2= x1x2-(x1+x2)+1；(x1+x2)2-2x1x2； (x1+x2)2-4x1x2；(4)x1-x2=21.设x1,x2是方程x2+7x-1=0的两个根,则(x1-1)(x2-1)的值是___.2.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值是___. 3.已知x1,x2是关于x的方程x2-2x-3=1的两根,则x1•x2=____.4.已知m,n是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则m2-mn+3m+n=___.5.若 是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根,则a+b=____.6.写出一个两个根为2和3的一元二次方程______________.7.已知a,b是方程x2+x-c=0的两个根,且a+b-2ab=5,则c=___.7-4 78-3 (x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0 3(x1-x2)2=1解：设方程的两根为x1,x2,由题意,得x1+x2=(k+1)/2x1x2=(k+3)/2x1-x2=1Δ=(k+1)2-4×2×(k+3)≥08.当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.解得：k1=-3,k2=9.k2-6k-23≥0∴k=-3.强化训练1.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第象限(　　)A.四 B.三 C.二 D.一2.直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k-2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )DDA4.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b＜0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( ) A.b=-1　　B.b=2 C.b=-2　　D.b=0A4.若方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别是m+1与2m-4,则b:a=____.5.已知a是方程x2-2020x+1=0的一个根,则 =_____.6.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,则 =____.7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,符合条件的所有正整数m的和为____.8.下表是小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情况,则该方程的两根之和为___.4 22019259.若a,b,c是△ABC的三边,关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是____________.10.在Rt△ABC中,∠C=90º,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a,b是关于x方程x2-7x+c+7=0的两根,那么AB边上的中线长是_____.11.若一元二次方程-x2+ax+x=0的两根在-2到0之间(含-2和0),则a的取值范围是____________.2.5-3≤a≤-1直角三角形∴a=1,b=-3,c=2解：由题意得，c-2≥02-c≥0解得：c=2∴b=-3把x=1代入ax2-3x+2=0得：a=11.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,且b,c满足 ,试确定a,b,c的值。 2.用配方法证明：(1)不论k取何值,代数式k2-4k+5的值必定大于零.(2)不论x取何值,代数式-x2+2x-4的值总是负数,并求它的最大值.解：(1)k2-4k+5=k2-4k+4+1=(k-2)2+1 ∴k2-4k+5的值必定大于零.∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2+1≥1.(2)-x2+2x-4=-(x2-2x+1-1)-4=-(x-1)2-3 当x=1时,-x2+2x-4的最大值为-3∵-(x-1)2≤0， ∴-(x-1)2-3＜0.∴-x2+2x-4的值总是负数.3.已知a,b,c是△ABC的三边,且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,判断三角形的形状。解：(1)a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0 ∴△ABC为直角三角形. ∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0∴(a-3)2=0,(b-4)2=0,(c-5)2=0 ∴a=3,b=4,c=5.(2)a2+b2=32+42=52=c2 4.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,试判断△ABC的形状.解：2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0 ∴△ABC为等边三角形. ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0∴a=b=c5.关于x的方程(a2-1)x2+(2a+2)x+1=0有实数根,求a的取值范围.解：①当a2-1=0,即a=±1时, 若a=1,原方程可化为：4x+1=0， 若a=-1,原方程可化为：1=0,(不合题意,舍去)②当a2-1≠0,即a≠±1时,则Δ≥0， 即:(2a+2)2-4(a2-1)≥0 ∴a≥-1综上所述a≥-16.在等腰△ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， ∴△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.∴Δ=b2-4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.∴b=-10或b=2.①将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；②将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2(舍去)；7.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0). (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.(1)证明：Δ=(m+2)2-4m×2=(m-2)2≥0又∵m≠0∴方程总有两个实数根.∵方程的两个实数根都是整数且m也是正整数∴m=1或m=28.已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-4)=p2,p为实数.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)当p为何值时,方程有整数解?(直接写出三个)(1)证明：原方程可化为:x2-5x+4-p2=0Δ=(-5)2-4(4-p2)=9+4p2＞0∴方程有两个不相等的实数根(2)解：p=0,2,-2.∴9+4p2应是___数的平方，奇∴9+4p2=32,52,72,…9.等腰三角形的一边长为2,它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,求k的值.解：①当腰长为2时，则方程有一根为2. ∴22-6×2+k=0 解得：k=8 此时方程x2-6x+8=0的两根为x1=2,x2=4 ∵2+2=4 ∴不能构成三角形 ②当底边长为2时，则方程有两根相等的实数根. ∴Δ=36-4k=0 ∴k=9 此时方程x2-6x+9=0的两根为x1=x2=3 综上所述：k=9 10.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+2(2k-1)=0(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a为4,另两边b,c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.(1)证明:Δ=(2k+1)2-4×2(2k-1)=4(k-1.5)2≥0∴方程总有两个实数根(2)解:①当b=a=4时,∴C△ABC=4+4+2=10②当b=c时,Δ=4(k-1.5)2=0∴k=1.5∴x2-4x+4=0解得：x1=x2=2,即：b=c=2∴b+c=a不能构成三角形.综上所述：△ABC的周长为10.