初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时作业

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时作业，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5B．1.5C．2D．1
3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝ODB．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCOD．∠ABC＝∠DCB
6．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则∠EAF为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
7．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
二、填空题：
8．在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
9．如图，在△ABC中，BD平分 ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为 ．
12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
13．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
三、解答题：
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
15．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
16．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．25°B．130°C．50°或130°D．25°或130°
3．如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn.其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：
4．如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
5．如图，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于 D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，则∠EFB=
6．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP= 时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
7．如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题：
8．如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．
9．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
13.3.2 等腰三角形的判定
夯实基础篇
一、单选题：
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，
∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+5x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.
∴AC＝CB.
∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5B．1.5C．2D．1
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= ×（5-3）=2．
故答案为：D
【分析】角平分线得出线段相等，等角对等边，在根据相对垂直平分线的性质求BD
3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
4．已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.
故答案为：C.
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝ODB．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCOD．∠ABC＝∠DCB
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故A不符合题意；
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故B不符合题意；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，
因此不能证明△BOC是等腰三角形，故C符合题意；
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC（AAS）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.
6．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则∠EAF为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，
∴∠C+∠B=70°，
∵EG、FH分别为AC、AB的垂直平分线，
∴EC=EA，FB=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAC+∠FAB=70°，
∴∠EAF=40°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B的度数，根据线段垂直平分线定理得出EC=EA，FB=FA，从而求出∠EAC+∠FAB的度数，即可求得∠EAF的度数。
7．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，延长AP交BC于点E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠EPB=90，
∴ABPEBP（ASA）
∴SABP=SEBP，AP=PE，
∴APC和CPE等底同高，
∴SACP=SECP，
∴SPBC=SEBP+SECP=SABC=4cm2.故答案为：C.
【分析】本题主要考查面积及等积变换的知识，证明出PBC的面积和原三角形ABC的面积之间的数量关系是解题的关键.
二、填空题：
8．在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
9．如图，在△ABC中，BD平分 ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为
【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，
∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4.
故答案为：4
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．，
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
【答案】9
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为 ．
【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF=2，BF=3，
∴CA=AB=5，AE=2，
∴CE=7．
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，
∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可证得CE=点E到AB的距离=3cm，再证明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的长。
13．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．
故答案为：5．
【分析】由BP、CP为ABC、ACB的角平分线，可知∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE；再由PD∥AB，PE∥AC，可知∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE；由上述结论可知∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，由等角对等边可得BD=PD，PE=CE，所以三角形PDE的周长为PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC。
三、解答题：
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
15．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
【答案】解：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】结合图形，要证 AB+BD=AC ，通常先在AC上截取AE=AB，然后证得 CE=BD. 由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD， 又 AE=AB，AD=AD，利用SAS 证得△ABD≌△AED ，DE=BD，∠AED=∠ABC， 再由∠AED=∠C+∠CDE，及∠ABC=2∠C， 得∠CDE=∠C， 根据等角对等边可得CE=DE，进而得CE=BD.
16．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
【答案】证明：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG.
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中
，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG，利用SAS证明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性质及对顶角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角对等边可得AC＝CG，即得 BF＝AC.
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故选B．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．
2．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．25°B．130°C．50°或130°D．25°或130°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=50°，
∴∠DEB=180°﹣50°=130°；
∴∠DFB=130°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=50°，
故选C．
【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．
3．如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn.其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S△AEF= AE•GD+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故本小题错误．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可证得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根据平行线的性质，可证得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再证明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，从而可证 ① 的结论；利用角平分线的定义及三角形的内角和定理，可对 ② 作出判断；BG、CG是△ABC的两个角的平分线的交点，可证得点G时内心，利用三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，可对③作出判断；由已知条件：点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面积= （AE+AF）•GD，代入计算，可对 ④ 作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
二、填空题：
4．如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
5．如图，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于 D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，则∠EFB=
【答案】61.5°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，
∴BE=EC，
∵BE=AC，
∴CE=AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∵∠ACE=16°，
∴∠AEC=∠A=82°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB= ∠AEC＝ ×82°＝41°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF= ∠EBC＝ ×41°＝20.5°，
∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，
故答案为：61.5°
【分析】根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质和三角形外角的性质解答即可.
6．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP= 时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】75°或120°或90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB=30°，
①当AOP1是等腰三角形时，
∵OA=OP1，
∵∠AOB=30°，
∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；
②当△ABP2是等腰三角形时，
∵∠ABM=60°，
∴△ABP2是等边三角形，
∴∠BAP2=60°，
∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；
③当△OAP3是等腰三角形，
∵OA=AP3，
∴∠AOB=∠AP3O，
∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.
综上，∠OAP为 75°或120°或90°
故答案为： 75°或120°或90° .
【分析】分三种情况讨论，即当OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理即可求出 ∠OAP的度数.
7．如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
三、解答题：
8．如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．
【答案】证明：∵ON∥BC，
∴∠NOB=∠OBD
∵BO平分∠ABD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠MOB=∠OBM，
∴BM=OM
∵ON∥BC，
∴∠NOC=∠OCD
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，
∴ON=CN
∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，
∴CN=BM+MN，
∴MN=CN﹣BM．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
9．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
【答案】（1）解：∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+ ∠ABC= ∠BAC+ ∠ABC，
∴∠BDC= ∠BAC
（2）解：△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形
（3）解：∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF= ∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BDC+ ∠ABC= ∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+ ∠ABC= ∠BAC+ ∠ABC，等量代换即可得到结论；（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF= ∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．