初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题当堂检测题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A．3B．C．4.5D．6
4．如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）
A．1B．C．D．
5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．6
6．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5
二、填空题：
8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）.
9．如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则 周长的最小值是 ．
10．如图，在 中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则 周长的最小值是 .
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 .
三、作图题：
12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)
13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。
四、解答题：
14．作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1，B1，C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
15．如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M
（1）若∠B=70。，求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小?若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
17．如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点P为直线 上一点， ，求 周长的最小值．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜边AC的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
5．如图，在 中， 平分 点 分别是 上的动点.若 则 的最小值是 .
三、解答题：
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线.
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值.
7．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
13.4 课题学习：最短路径问题
夯实基础篇
一、单选题：
1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选D．
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“两点之间，线段最短”，可知点Q即为所求.
故答案为：C
【分析】先作点M关于l的对称点M′，连接M′N交l于点Q，即可.
3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A．3B．C．4.5D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH= AB=3．故答案为：A
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到BH是点B到直线AC的最短距离，再由三角形内角和定理得到∠BAC=30°，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出MN+BN的最小值.
4．如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：
∵BD是∠ ABC的平分线，
∴通过作图知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，
∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴点E'是AB中点，CE'是中线.
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底边AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的长度最小值为2.
故选B.
【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C. 再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.
5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴ ×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5.
故答案为：C.
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解.
6．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ ，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
二、填空题：
8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）.
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点.
故答案为：C.
【分析】点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，据此即得结论.
9．如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】7
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ 垂直平分 ，
∴B，C关于直线 对称．设 交 于点D，
∴当P和D重合时， 的值最小，最小值等于 AC 的长，
∴ 周长的最小值是 ．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
10．如图，在 中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则 周长的最小值是 .
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
，
的周长为 ，
要使 的周长最小，则需 的值最小，
垂直平分BC，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点 共线，即点P在AC边上时， 取得最小值，最小值为AC，
即 的最小值为 ，
则 周长的最小值是 .
故答案为：10.
【分析】如图，连接PC，先把 的周长表示出来为4+PA+PB，接着根据垂直平分线性质得到PB=PC，故只需PA+PC最小△ABP周长才最小，由两点之间线段最短得出P点在AC上时最小，此时PA+PC=AC=6，从而即可得出答案.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 .
【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP.
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示.
∵S△ABC BC•AD AC•BQ，∴BQ 9.6.
故答案为：9.6.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BP＝CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，然后根据三角形的面积法，得出 BC•AD =AC•BQ，根据等积式即可求出BQ的长.
三、作图题：
12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)
【答案】解：答图如图所示，
该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，
则他所走路线是：
，
或 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】分别作P点关于AB，AC的对称点，连接这两个对称点交AB于点M，交AC于点N，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：
，或 .
13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。
【答案】解：如图，
作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点。
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】利用轴对称图形的性质，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，则M是所求的点。
【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质。
四、解答题：
14．作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1，B1，C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
【答案】解：①如图所示，△A1B1C1即为所求；A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；
②如图所示，点P即为所求；
③S△ABC=S△ABD+S△BCD= ×3×2+ ×3×2=6
①如图所示见解析，A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；②如图所示见解析；③6．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】①分别找到A、B、C三点的对称点，连线即可。
②作点A关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为点P。
③AC与y轴相交于点D，BD将△ABC分割成两个三角形，分别求其面积即可得△ABC的面积。
15．如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
【答案】解：如图，取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形三线合一的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°.
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠ECF的度数.
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M
（1）若∠B=70。，求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小?若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2 × 70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如图1，连接BM
∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周长是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6
（3）存在；点P与点M重合；△PBC的周长最小值为14.
解：（3）如图1，∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点M与点P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周长最小值为14.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据垂线的定义得出∠ANM=90°，然后根据∠NMA=90°-∠A，计算即可得出答案。
（2）根据相等垂直平分线的性质得出AM=BM，再根据△MBC的周长是14cm，证得AC+BC=14 ，即可得出答案。
（3）根据轴对称的性质及两点之间的最短，可得出点P与点M重合，因此△PBC的周长最小值就是△MBC的周长。
17．如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点P为直线 上一点， ，求 周长的最小值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）当点P与点E重合时， 的周长最小，
理由：∵ ，
∴当点P与点E重合时， ，此时 最小值等于 的长，
∴ 的周长最小值为 ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 由等腰三角形的性质可得，利用三角形内角和求出∠A=44°，在Rt△ADE中，利用∠AED=90°-∠A即可求解；
（2）当点P与点E重合时， 的周长最小，求出此时△PBC的周长即可.
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC•AD= ×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDG的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+ BC=9+ ×4=9+2=11．
故答案为：C.
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：B．
【分析】由轴对称的知识得PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；同理可得PN=CN，OP=OC=6，∠COB=∠POB；整理得OC=OP=OD=6，∠AOB= ∠COD，当△PMN周长取最小值时，此时C、N、M、D四点共线，即CD=6，可判定△OCD是等边三角形，从而求得∠AOB度数。
3．如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°−120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和可得∠AA′M+∠A″=180°−120°=60°，根据轴对称的性质及三角形外角的性质可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，从而求出结论.
二、填空题：
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜边AC的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作C关于AB的对称点E，连接ED，
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵AC=AE，
∴△ACE为等边三角形，
∴CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，
∴最小值为C'到AC的距离=AB=12，
故答案为：12
【分析】由对称的性质得到PC+PD的最小值为ED=AB的长，由∠B=90°、∠A=30°，得到△ACE为等边三角形，求出PC+PD的最小值.
5．如图，在 中， 平分 点 分别是 上的动点.若 则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，
则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝ AC•HF＝ CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE＋EF的最小值是4，
故答案是：4.
【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，可得点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据S△ACH＝ AC•HF＝ CH•AG，求出HF的值即可.
三、解答题：
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线.
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值.
【答案】（1）解：如图，
过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
点P即为所求
（2）解：如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
PA+PE的最小值＝EF，
∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，
∴DA＝DF，
即点A与点F关于CD对称，
∴CF＝AC＝10，
∵∠ACB＝30°，
∴EF＝ CF＝5.
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P， 由轴对称的性质可知： 此时PA+PE的值最小，即点P为所求 ；
（2）过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，由（1）知此时PA+PE的值最小，由角平分线的性质可得DA＝DF，由轴对称的性质可得 CF＝AC，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
7．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′,使得GE′=GE
连接AE′, BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。