数学八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时练习

这是一份数学八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时练习，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
2．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110°B．70°C．35°D．55°
3．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．7或8
4．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．一个等腰三角形的底边长为 5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为 3，则这个等腰三角形的腰长为( )
A．2B．8C．2 或 8D．10
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7 cmD．8 cm
二、填空题：
7．如图，在 中， 垂直平分 ，若 的周长是12， ，则 的长 .
8．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
9．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
10．在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
11．如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知 AC=18，△CDB 的周长为 28， 则 BD 的长为 ．
12．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=28°，AD=AE，则∠EDC= ．
13．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为 ．
三、解答题：
14．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= ∠A．
15．如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，求∠CBD的度数．
16．如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．求证：BF=2AE．
能力提升篇
一、单选题：
1．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于( )
A．67.5°B．22.5°
C．45°D．67.5°或22.5°
2．如图，在△ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是( )
A．2.5 秒B．3 秒C．3.5 秒D．4 秒
3．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：
5．在 中， ，过点 作 交射线 于点 ，若 是等腰三角形，则 的大小为 度.
6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 ．
7．如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
三、解答题：
8．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
9．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
13.3.1 等腰三角形的性质
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由等边对等角得，利用三角形外角的性质求出，由等边对等角得，根据三角形外角的性质求出.
2．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110°B．70°C．35°D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角的度数为 ，
这个等腰三角形的顶角的度数为 ，底角的度数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
3．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．7或8
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故答案为：D．
【分析】首先根据非负数的性质可以得到a,b的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可
4．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
5．一个等腰三角形的底边长为 5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为 3，则这个等腰三角形的腰长为( )
A．2B．8C．2 或 8D．10
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵BD为中线，AB=AC，BC=5，
∴AD=CD，
∵C△ABD=AB+BD+AD，C△CBD=BC+CD+BD，
①当C△ABD-C△CBD=3时，
∴AB+BD+AD-（BC+CD+BD）=3，
即AB-BC=3，
∴AB=3+5=8，
∴△ABC三边长分别为：8，8，5，符合三角形三边之间的关系，
②当C△CBD-C△ABD=3时，
∴BC+CD+BD-（AB+BD+AD）=3，
即BC-AB=3，
∴AB=5-3=2，
∴△ABC三边长分别为：2，2，5，2+25，不符合三角形三边之间的关系，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和中线的定义分两种情况讨论：①当C△ABD-C△CBD=3，②当C△CBD-C△ABD=3，分别求出AB的长，再结合三角形三边之间的关系来分析即可得出答案.
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7 cmD．8 cm
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，
∵CD平分∠BCE，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD，
∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，
在△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴∠A=60°，
在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，
∴∠B=∠BCD=30°，
∴BD=CD=5cm.
故答案为：A。
【分析】根据中垂线的性质得出AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，根据角平分线的定义得出∠ECD=∠BCD，根据等量代换及角的和差即可得出∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，根据三角形的内角和得出∠A=60°，∠B=30°，根据等量代换得出∠B=∠BCD=30°，根据等角对等边得出BD=CD=5cm.
二、填空题：
7．如图，在 中， 垂直平分 ，若 的周长是12， ，则 的长 .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD.
∵△BCD的周长是12，BC=4，
∴AB=BD+CD=12-4=8，
故答案为：8.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论.
8．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵ABC的周长=AB+AC+BC，EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴ABC的周长-EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16 cm.
故答案为：16.
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质. 首先根据DE是AB的垂直平分线，得出AE=BE；然后观察ABC的周长和EBC的周长两者的表达式，可得ABC的周长-EBC的周长=AB，进而求解即可.
9．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出，由等边对等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.
10．在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【分析】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
11．如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知 AC=18，△CDB 的周长为 28， 则 BD 的长为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，
∴CD=BC，
又∵∠DAB=∠DBA，
∴DA=DB，
又∵AC=AD+DC=18，
C△CDB = CD+DB+CB=28，
∴18+BC=28，
∴BC=CD=10，
∴BD=28-10-10=8，
故答案为：8.
【分析】根据等腰三角形的性质得出CD=BC，DA=DB，从而得出AC=AD+DC=18，再由C△CDB =28得出BC=CD=10，从而求出BD的长.
12．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=28°，AD=AE，则∠EDC= ．
【答案】14°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，∠BAD=28°，
∴∠B=∠C，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
设∠EDC=x，∠B=∠C=y，
∴∠ADE=∠AED=x+y，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=x+y+x=2x+y，
又∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=y+28°，
∴2x+y=y+28°，
∴x=14°，
即∠EDC=14°，
故答案为：14°.
【分析】由等腰三角形性质得出∠B=∠C，∠ADE=∠AED；设∠EDC=x，∠B=∠C=y，由三角形外角的性质得出∠ADE=∠AED=x+y，
∠ADC=∠ABD+∠BAD=y+28°，再根据∠ADC=∠ADE+∠EDC=x+y+x=2x+y，得出等式2x+y=y+28°，解出x值即可.
13．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为 ．
【答案】14cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
同理：OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．
故答案为：14cm．
【分析】根据平行线的性质可得∠DOB=∠OBC，又由角平分线的定义可得∠DBO=∠OBC，整理可得∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得BD=OD，同理可得OE=EC，最后由线段间的等量代换可得△ADE的周长。
三、解答题：
14．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= ∠A．
【答案】 证明：作AE⊥BC于点E，如图：
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
又∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=∠BAC.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形性质：等角对等边得AB=AC，再由三角形三线合一有的性质得∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定义和同角的余角相等即可得证.
15．如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，求∠CBD的度数．
【答案】解：设∠A=x°，∵AC=BC，AE=EC，∴∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=2x°，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC=180°，∴2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠A=∠ABC=36°，∴∠CBD=90°-∠A-∠ABC=18゜
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】设∠A=x°，根据等边对等角得出∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，根据三角形的外角定理得出∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，再根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE=2x°，根据三角形的内角和列出方程，求解得出x的值，根据直角三角形两锐角互余及角的和差即可算出答案。
16．如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．求证：BF=2AE．
【答案】证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中， ∠CAD=∠CBEAD=BD∠ADC=∠BDF=90° ，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】首先判断出 △ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出AD=BD，根据同角的余角相等得出 ∠CAD=∠CBE，然后利用ASA判断出 △ADC≌△BDF ，根据全等三角形的对应边相等得出 BF=AC，根据等腰三角形的三线合一，由 AB=BC，BE⊥AC，得出AC=2AE，根据等量代换得出BF=2AE．
能力提升篇
一、单选题：
1．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于( )
A．67.5°B．22.5°
C．45°D．67.5°或22.5°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当△ABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
故
【分析】△ABC是等腰三角形，由AB边上的高为CD，则△ABC的顶角A是锐角或钝角，分两种情况画出图形求解即可.
2．如图，在△ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是( )
A．2.5 秒B．3 秒C．3.5 秒D．4 秒
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设运动时间为t秒，
∵点 P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
∴PB=3t，QA=2t，
又∵AB=20cm，AC=12cm，
∴PA=20-3t，QC=12-2t，
又∵△APQ 是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP=AQ，
即20-3t=2t，
∴t=4，
故答案为：D.
【分析】设运动时间为t秒，根据题意得出PB=3t，QA=2t，PA=20-3t，QC=12-2t，再由△APQ 是以PQ为底的等腰三角形，得出AP=AQ，即20-3t=2t，求出t值即可.
3．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 △ABA1 中，
∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1， ∠BA1A 是 △A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1===35°.
同理可得，
∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==. ⋯
∴∠An-1AnBn-1=
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠An﹣1AnBn﹣1的度数.
4．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 ①证明：如图，连接NP、MP，
在△ANP和△AMP中，
∵，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的∠平分线，正确；
② 在△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，正确；
③∵∠DAB=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴D在AB的中垂线上，正确；
④ 在△ACD中，
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD=BD，
∴BC=3CD，
∵S△DAC=AC×CD， S△ABC=AC×BC=AC×3CD=3S△DAC，
∴S△DAC:S△ABC = 1:3，正确.
综上，正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】①利用边边边定理即可证明△ANP≌△AMP，从而推出AD是∠BAC的平分线；②根据余角的性质，结合AD是∠BAC的平分线可求∠ADC的度数；③根据等角对等边的性质即可求出DA=DB，则D在AB的中垂线上；④先推出BC=3CD，然后利用三角形的面积公式可得S△DAC:S△ABC 的值.
二、填空题：
5．在 中， ，过点 作 交射线 于点 ，若 是等腰三角形，则 的大小为 度.
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图所示，若顶角∠BAC为锐角，则：
AB=BD，∠D=∠DAB
∵AB=AC∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D，
∵ ，
∴∠DAC=90 ，
∴∠C+∠D=3∠D=90 ，
∴∠D=30 ，
∴∠C=2∠D =60 ；
如图所示，若顶角∠BAC 为钝角，则：
AD=BD，∠B=∠DAB ，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，
∵AB=AC∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠DAC=90 ，
∴∠ADC+∠C=3∠C =90 ，
∴∠C =30 .
故答案为30或60.
【分析】分两种情况考虑，∠BAC为锐角时，由AB=BD得∠D=∠DAB，由AB=AC得∠ABC=∠C，根据三角形外角性质可推出∠C=2∠D，根据直角三角形的两锐角互余可得∠C=60 ；同理，∠BAC为钝角时，可推出∠ADC=2∠C，根据直角三角形的两锐角互余可得∠C=30 .
6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 ．
【答案】65°或25°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°； 当这个三角形是钝角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角的外角是50°，则底角是25°． 因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故答案为：65°或25°
【分析】此题由于没有告诉等腰三角形的钝角三角形，还是锐角三角形，故需要分类讨轮：①当这个三角形是锐角三角形时，三角形的高都在形内，②当这个三角形是钝角三角形时，腰上的高都在形外，从而分别画出示意图，根据三角形的内角和及等腰三角形的性质即可算出答案。
7．如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长EB至E'，使BE=BE'，连接 ；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE'，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1= ，
∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E'AC=∠EAD，
又∵AD=AC，
∴ ，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴ ，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E'AC=90°，
由 ，
∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）.
故答案为：②③④.
【分析】延长EB至E′，使BE=BE′，连接AE′，由垂直平分线的性质可得AE=AE′，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，∠3=∠5，结合已知条件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，证△DAE≌△CAE，据此判断②；当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用内角和求出∠AME的度数；当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此时∠AME≠90°，据此判断①；若CD∥AB，由平行线的性质可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性质可得∠7=∠ADC，在△ACD中，应用内角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，据此判断③④.
三、解答题：
8．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。
9．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．