初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定测试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到 MBC≌ ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定 MBC≌ ABC的理由是（ ）
A．SASB．AAAC．SSSD．ASA
3．如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DEC．BF=CED．∠B=∠E
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
5．如图，在 和 中，已知 ，还需添加两个条件才能使 ，添加的一组条件不正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：
7．如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
8．如图，已知BD=CE，∠B=∠C，若AB=8，AD=3，则DC= .
9．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝ cm.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= °．
11．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.
12．如图正方形网格，点A、B、C、D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD= 度。
三、解答题：
13．已知：∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AC=AD
14．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
15．如图，在 中， ，点D是AB边上的一点， ，且 ，过点M作 交AB于点 求证： .
16．如图，在△ABC中，边BC，AB上的高AD，CE相交于点F，且∠ACE＝45°，连接BF，求∠BFE的度数．
能力提升篇
一、单选题:
1．如图， 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上，在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 五个条件中，能使 与 全等的条件的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④⑤
2．如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且 ， ，则DE的长等于（ ）
A．ACB．BCC．D．AB
3．如图，ΔABC的面积为8cm ，AP垂直 ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题：
5．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为 .
7．如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有 ．
8．如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA＋BO＝
三、解答题：
9．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且BD是∠ABC的角平分线．
求证：AE＝ BD．
10．在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意纯角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
12.2.3 三角形全等的判定㈢AAS、ASA
夯实基础篇
一、单选题：
1．花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃.
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的判定“有两角及夹边的两个三角形全等”可求解.
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到 MBC≌ ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定 MBC≌ ABC的理由是（ ）
A．SASB．AAAC．SSSD．ASA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】在△ABC和△MBC中 ，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可.
3．如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DEC．BF=CED．∠B=∠E
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】需要补充的条件是∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠2=∠1，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：D．
【分析】 运用“有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”判断两个三角形全等可添加：∠E=∠B。
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∠ACD=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用AAS证明△ACD≌△AED，得出AE=AC，DC=DE，然后通过转化得出△DEB的周长等于AB长，即可解答.
5．如图，在 和 中，已知 ，还需添加两个条件才能使 ，添加的一组条件不正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、若添加BC=CD，∠A=∠D，AB=DE，利用SSA不能证明△ABC≌△DEC，故A符合题意；
B、在△ABC和△DEC中，
AB=DEBC=ECAC=DC
∴△ABC≌△DEC（SSS），故B不符合题意；
C、∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∠ACB=∠DCE∠B=∠EAB=DE
∴△ABC≌△DEC（AAS），故C不符合题意；
D、在△ABC和△DEC中，
BC=EC∠B=∠EAB=DE
∴△ABC≌△DEC（SAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据SSA不能证明两三角形全等，可对A作出判断；利用SSS，可对B作出判断；利用∠BCE=∠ACD，可得到∠ACB=∠DCE；再利用AAS证明△ABC≌△DEC，可对C作出判断；然后根据SAS证明△ABC≌△DEC，可对D作出判断.
6．如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴ ，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以 不一定成立故D错误；
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，再利用余角的性质可证得∠A=∠2，可对A作出判断，同理可证∠1=∠E，可推出∠A+∠E=90°，可对B作出判断；再利用AAS证△ABC≌△CDE，利用全等三角形的对应边相等，可得BC=DE，可对C作出判断；不能推出∠1=∠2，由此不能证∠BCD=∠ACE，可对D作出判断.
二、填空题：
7．如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
【答案】 或
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：所添加条件为： 或 ，
添加： ，
在 和 中，
，
；
添加： ，
在 和 中，
，
.
故答案为： 或 .
【分析】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB，可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等，利用AAS，由此可得答案.
8．如图，已知BD=CE，∠B=∠C，若AB=8，AD=3，则DC= .
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在△ABD和△ACE中 ∠A=∠A∠B=∠CBD=CE ，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC=8，
∴CD=AC−AD=8−3=5.
故答案为：5.
【分析】易得△ABD≌△ACE，则AB=AC=8，然后根据CD=AC-AD进行计算.
9．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝ cm.
【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵AB∥CF， ∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF， 在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴FC=AD=5cm， ∴BD=AB-AD=11-5=6（cm）．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF ，然后利用AAS判断出△AED≌△CEF ，根据全等三角形的性质得出FC=AD=5cm ，然后根据线断的和差算出结果。
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= °．
【答案】45
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°．
∴∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
11．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.
【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答.
12．如图正方形网格，点A、B、C、D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD= 度。
【答案】90
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，取点E，点F和点O，
∵是正方形网格，
∴AD=ED，∠CED=∠BDA=90°，
∵∠ADC+∠DAB=∠ADC+∠CDE，.
∴∠DAB=∠CDE，
在△ADB和△DEC中，
∠CED=∠BDA，AD=ED∠DAB=∠CDE
∴△ADB≌△DEC（ASA），
∴∠ABD=∠DCE，
∴∠ABD+∠CED=∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AOC=90°，
∴∠BAC+∠ACD= 90°.
故答案为：90.
【分析】根据正方形的性质求出AD=ED，∠CED=∠BDA=90°，然后根据余角的性质求出DAB=∠CDE，则可利用ASA证明△ADB≌△DEC，得出∠ABD=∠DCE，然后根据余角的性质推出∠AOC=90°，则可根据三角形内角和定理求得结果.
三、解答题：
13．已知：∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AC=AD
【答案】证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC，
在△ABC和△ABD中，
∵∠2=∠1，AB=AB，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC=AD.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据ASA可证△ABC≌△ABD，利用全等三角形对应边相等可得AC=AD.
14．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
【答案】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 根据AAS证明△ABF≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等即证.
15．如图，在 中， ，点D是AB边上的一点， ，且 ，过点M作 交AB于点 求证： .
【答案】证明： ，
，
，
，
，
在 和 中，
≌ ，
.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得 ，再求出 ，然后利用“角边角”证明 和 ，再根据全等三角形对应边相等证明即可
16．如图，在△ABC中，边BC，AB上的高AD，CE相交于点F，且∠ACE＝45°，连接BF，求∠BFE的度数．
【答案】解：∵AD，CE是边BC，AB上的高，
∴∠AEF＝∠BEC＝∠CDF＝90°，
∵∠ACF＝45°，
∴∠EAC＝∠ACF＝45°，
∴AE＝CE，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EAF＝∠BCE，
在△EAF和△ECB中，
∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠BCE，
∴△EAF≌△ECB（ASA），
∴EF＝BE，
∵∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝45°．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先求出 ∠AEF＝90°， 再利用ASA证明 △EAF≌△ECB ，最后求解即可。
能力提升篇
一、单选题：
1．如图， 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上，在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 五个条件中，能使 与 全等的条件的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
B、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
C、∵ ， ， ，
∴ ≌ （AAS），故本选项正确；
D、 ， ， ，
不能用AAA进行判定，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理一一判断得出答案.
2．如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且 ， ，则DE的长等于（ ）
A．ACB．BCC．D．AB
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
故选：D．
【分析】结论 ，只要证明 ≌ 即可．
3．如图，ΔABC的面积为8cm ，AP垂直 ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直 ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE= S△ABC=4cm2，
故答案为：C．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
4．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题：
5．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图示，作 轴，垂足为 ，作 轴垂足为 ，
则 ，
，
又 ，
，
.
在 和 中，
，
.
， ，
∵点 在第二象限，
点 的坐标为 .
故答案为： .
【分析】作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D ，证明△ACO≌△ODB，可得OD=AC=3，BD=OC=2，由于点B在第二象限，据此写出坐标即可.
7．如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：①∵DE∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BC=DE，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴AC=DE；故①符合题意；
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CD=BE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴CD=AE；故②符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A=∠B，
∴∠ACD=∠B，
但∠B不一定等于∠ACB，
故AC不一定是∠BCD的平分线；故③不符合题意；
在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OE=OD，
即O是DE的中点；故④符合题意；
∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤不符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形的判定方法及性质、全等三角形的判定即性质逐项判定即可。
8．如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA＋BO＝
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，如图所示：
根据题意得：PE=PF，
∴2m-1=6m-5，
∴m=1，
∴P（1，1），
∵∠EPF=90°，
∵∠BPA=90°，PE=PF=1，
∴∠EPB=∠FPA，
在△BEP和△AFP中，
，
∴△BEP≌△AFP（ASA），
∴BE=AF，
∴OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE，
∵P（1，1），
∴OE=OF=1，
∴OA+OB=2．
故答案为：2．
【分析】作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，由角平分线的性质得出PE=PF，则2m-1=6m-5，求出m=1，则求出P点坐标；再根据ASA证明△BEP≌△AFP，得出BE=AF，进面得出OA+OB=OE+OF=2．
三、解答题：
9．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且BD是∠ABC的角平分线．
求证：AE＝ BD．
【答案】证明：如图，延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE，∠ACB=90°
∴∠BEF=∠BEA=90°,∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD (ASA)
∴AF=BD．
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABE=∠FBE-
在△ABE和△FBE 中，
∴△ABE≌△FBE (ASA)
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】 延长AE、BC交于点F ，利用“ASA”证明 △ACF≌△BCD ，得到AF=BD，再结合BD是∠ABC的角平分线，即∠ABE=∠FBE ，再利用“ASA”证明 △ABE≌△FBE，最后利用全等三角形的性质求解即可。
10．在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意纯角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm；
（2）AD+BE＝DE，
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE；
（3）答：（2）中的猜想还成立，
证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC，
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBC＝∠DCA ，再利用AAS证明 △CEB≌△ADC ，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠EBC＝∠DCA ，再证明 △CEB≌△ADC ，最后求解即可；
（3）先求出 ∠BCE＝∠CAD， 再证明 △CEB≌△ADC ，最后证明求解即可。