初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.3 三角形的内角与外角13.3.2 三角形的外角课时作业

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.3 三角形的内角与外角13.3.2 三角形的外角课时作业，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．如图，在中，，延长BA到D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43°B．33°C．47°D．37°
3．如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
4．如图，下列说法中错误是（ ）
A．B．
C．D．
5．将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120°B．135°C．110°D．150°
二、填空题：
7．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
8．如图，，，垂足为E，，则的度数是______．
9．如图所示，将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是___________．
10．如图，，分别与，交于点B，F，，，则__________．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝___．
12．如图，在中，D在AC上，连接BD，且，，则的度数为_______度．
三、解答题：
13．如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
14．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求和的度数．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A．B．C．D．
3．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
4．如图，是△ABC的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
5．如图，△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A’EF，当边A’F∥BC时，∠AEF的度数为______
6．如图，，分别是的边，上的点，连接，将沿DE折叠得到，交于点，过点作，交于点，已知，，那么______°．
7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
8．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．
三、解答题：
9．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝ 度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
10．在图a中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题．
(1)在图a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC= ；
(2)在图a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系；并说明理由．
(3)如图b，若，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系．（直接写出）
思维拓展篇
（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，请确定∠A与∠D的数量关______；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系______；
（4）解决问题：如图，在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F=______．
11.2.3 三角形的外角
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，在中，，延长BA到D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】
解：由三角形的外角性质得：
∠CAD=∠B+∠C=40°+20°=60°；
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质；熟记三角形的外角性质是解决问题的关键．
2．如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43°B．33°C．47°D．37°
【答案】D
【解析】
【分析】
延长BD交AC于点E，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠B+∠C，计算可求解．
【详解】
解：延长BD交AC于点E，
∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠C，
∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°，
∴∠B=100°-28°-35°=37°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，证得∠BDC=∠A+∠B+∠C是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
【答案】C
【解析】
【分析】
连接BD，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠1、∠3替换为四边形的内和，再利用即可求出∠D．
【详解】
连接BD，如图
∴，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
故选 ：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外角，熟练运用三角形外角的性质将外角转换为内角是解题的关键．
4．如图，下列说法中错误是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质即可判断A、C、D；根据三角形内角和定理即可判断B．
【详解】
解：∵∠ACD=∠A+∠B，∠FEC=∠ACD+∠D，
∴∠FEC=∠A+∠B+∠D，
∴∠FEC＞∠B，故A、D不符合题意，C符合题意；
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故B不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
5．将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，再由平行线的性质得，再利用三角形外角的性质即可求出．
【详解】
解：由题意可知：
，，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质．解答的关键是理解和掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6．如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120°B．135°C．110°D．150°
【答案】A
【解析】
【分析】
由得到∠FDE＝∠C＝60°，由折叠的性质知∠DEF＝∠B＝30°，得到∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，由外角的性质得∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，进一步求得∠ADC＝60°，进一步求得∠BDA．
【详解】
解：∵，
∴ ∠FDE＝∠C＝60°，
∵三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，
∴∠DEF＝∠B＝30°，
∴∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，
∵∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＋60°＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠BDA＝∠ADC＋60°＝120°,
故选：A
【点睛】
此题考查了折叠的性质，平行线性质，外角的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题：
7．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
【答案】34°
【解析】
【分析】
根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
【详解】
解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
8．如图，，，垂足为E，，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可知，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度的数量关系．
9．如图所示，将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是___________．
【答案】75°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质以及三角尺可得，进而根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角尺中角度的计算，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握三角尺中角度的计算以及三角形外角的性质是解题的关键．
10．如图，，分别与，交于点B，F，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出，然后由三角形外角的性质得出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质可得，，根据三角形内角和定理可得，进而即可求得答案．
【详解】
如图，
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．如图，在中，D在AC上，连接BD，且，，则的度数为_______度．
【答案】36
【解析】
【分析】
由三角形外角的性质可得∠BDC=2∠A，求得∠CBD，再由三角形内角和定理列方程求解即可；
【详解】
解：由三角形外角的性质可得：∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠A，
由三角形内角和定理可得：∠CBD+∠C+∠BDC=180°，
∴5∠A=180°，
∠A=36°，
故答案为：36；
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质和定理是解题关键．
三、解答题：
13．如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】
利用三角形外角的性质得∠ACD=∠BDC-∠A= 80°- 60°= 20°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】
解：是的角平分线，
，
又是的外角，
，
，
，
，
，


，
，．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握各三角形外角的性质是解题的关键．
14．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】
在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】
解：在中，
，，
；
在中，
．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题
1．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180﹣∠ADB﹣∠A＝90﹣n，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．
【详解】
解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90，
又∵∠BAC＝n，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n，
∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质,垂直的定义以及三角形内角和定理,掌握以上性质定理是解答本题的关键.
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+28°-∠EDC，
解得∠EDC=14°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
3．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四边形内角和证明结论②正确，再根据和结合结论②证明结论④正确，连接AP并延长至点G，根据外角和定理证明结论①正确，结论③也可以通过前面的证明得到．
【详解】
解：∵，，
∴，故②正确，
∵，
，
∴，
∵EP平分，FP平分，
∴，，
∴，故④正确，
同理：，
如图，连接AP并延长至点G，
，故①正确，
∴，故③正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查角度关系求解，解题的关键是掌握角度和差关系的计算．
4．如图，是△ABC的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出∠An即可得答案．
【详解】
解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A2=∠A1=∠A，
∠A3=∠A2，
∠A4=∠A3，
……
∴∠An．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
二、填空题：
5．如图，△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A’EF，当边A’F∥BC时，∠AEF的度数为______
【答案】120°##120度
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理推出∠C＝60°，结合平行线的性质可得：∠B＝90°，利用折叠及各角之间的数量关系及外角的定义求解即可得出结果．
【详解】
解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝60°，
∵A′F∥BC，∠B＝90°，
∴∠FHA＝∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°，
由折叠可知，
∠HFE＝∠AFE＝∠HFA＝30°，
∴AEF＝∠EHF+∠HFE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行线的性质．利用外角性质和平行线的性质是解答本题的关键．
6．如图，，分别是的边，上的点，连接，将沿DE折叠得到，交于点，过点作，交于点，已知，，那么______°．
【答案】50
【解析】
【分析】
由折叠可得，由可知，由为的外角，得出，故，得出 ， ，即可求出的度数．
【详解】
解：∵，且
∴
∵为的外角
∴
由折叠可得
∴
∴
解得：，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角，解题的关键是找出题中的等量关系，利用方程思想来解决问题．
7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】
先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
【详解】
解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°．
8．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．
【答案】67°．
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．
【详解】
解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
故答案为：67°．
【点睛】
本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．
三、解答题：
9．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝ 度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
【答案】(1)70
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的外角性质可求出∠BDC的度数，结合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数；
（2）在△ABE中，利用三角形内角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形内角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，进而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
(1)
解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70；
(2)
解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，
∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，
∴2∠BDC＝180°﹣∠B，
∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．
10．在图a中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题．
(1)在图a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC= ；
(2)在图a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系；并说明理由．
(3)如图b，若，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系．（直接写出）
【答案】(1)150°
(2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC
(3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC
【解析】
【分析】
（1）根据题目给出的条件可得：；
（2）根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，得出∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，然后进行化简即可得出结论；
（3）先根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据，，得出∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，整理化简即可得出结论．
(1)
解：∵∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，
∴．
故答案为：150°．
(2)
由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，①
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，②
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，
①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC，
即∠BDC+∠BAC=2∠BEC．
(3)
由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，③
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，④
∵∠1=∠ABD，∠2=∠ACD，
∴∠ABE=2∠1，∠ACE=2∠2．
由④得∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，⑤
③×2-⑤得2∠BDC-∠BEC=2∠BEC-∠BAC，
即2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，理解题意，充分利用数形结合的思想，是解题的关键．
思维拓展篇
（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，请确定∠A与∠D的数量关______；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系______；
（4）解决问题：如图，在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F=______．
【答案】（1）∠D=90°+∠A理由见解析；
（2）∠E=∠A；
（3）∠F=90°-∠A；
（4）15.5°
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）三问均可将根据角平分线得出的两对相等的角设为α、β，进而通过内角和以及外角定理找要求的两个角与α\β之间的关系，通过消元即可得到最终答案．
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
【详解】
解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设∠DBC=∠DBA=α，∠DCB=∠DCA=β，
则∠D=180°-（α+β），∠A=180°-2（α+β），
即：α+β=180°-∠D，2（α+β）=180°-∠A，
联立可得：∠D=90°+∠A．
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
∴设∠ABE=∠CBE=α，∠ACE=∠MCE=β，
则由外角定理可得：2β=∠A+2α，β=∠E+α，
即：∠A=2β-2α，∠E=β-α，
联立可得：∠E=∠A．
故答案为：∠E=∠A．
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴设∠PBF=∠CBF=α，∠QCF=∠BCF=β，
则由外角定理可得：2α+2β=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
α+β=180°-∠F，
联立可得：∠F=90°-∠A．
故答案为：∠F=90°-∠A．
（4）解决问题：由（1）（2）（3）的结论可得：
∠D＝90°+∠A=118°，
∴∠E＝90°−∠D=31°，
∴∠F＝∠E=15.5°．
故答案为：15.5°．
【点睛】
本题考查角平分线以及三角形内角和定理和外角定理，熟练使用这些定理去推导角的关系是解题关键．