人教七年级数学上册专题训练1.7 数轴上的动点问题（专项训练）（学生版+名师详解版）

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专题1.7 数轴上的动点问题（专项训练）1．如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？2．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？3．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．4．如图，点A表示的数是﹣4．（1）在数轴上表示出原点O；（2）指出点B所表示的数；（3）在数轴上找一点C，它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？5．已知数轴上点A，O，P所表示的数分别是﹣3，0，x点P在线段AO上．（1）请在数轴上标出A，O两点；（2）①线段AP＝　 　（用含x的式子表示）②在点P右侧的数轴上画线段PQ＝AP，当OP＝2OQ时，求x的值．6．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为 　60　个单位长度；乙到达A点时共运动了 　15　秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．7．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是﹣30，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒．（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；（2）当电子蚂蚁运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含t的式子表示）（3）当电子蚂蚁运行t（t＞10）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含t的式子表示）8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　，B：　 　；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数　 　表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　．9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）原点在第 　 　部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，直接写出d的值．10．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是　 　；②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？11．定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　 　；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．12．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　 ；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．13．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）．14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　 ．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　．若|x+3|＝4，则x＝　 　．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　　．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 　 　.则满足条件的所有整数x的和为 　 　．（5）若x表示一个有理数，当x为 　 　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 　　．15．如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，点P表示的有理数是 　　，当点P与点B重合时，t的值是 　　；（2）①在点P由点A到点B的运动过程中，P表示的有理数是 　　（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是 　 　（用含t的代数式表示）．（3）若点P从点A出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点B到点A的方向运动，当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是 　 　．专题1.7 数轴上的动点问题（专项训练）1．如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？【解答】解：根据所给图形可知：（1）A点表示2，B点表示5，C点表示﹣4，O点表示0；（2）蚂蚁实际上是从原点出发，向原点左侧爬行了4个单位．2．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？【解答】解：（1）90﹣（﹣10）＝100，100÷2＝50．借助数轴可知，与A，B两点距离相等的M点对应的数为40．（2）相遇前：（100﹣35）÷（2+3）＝13（秒），相遇后：（35+100）÷（2+3）＝27（秒），则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．3．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝　2　，BC＝　6　，AC＝　8　；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣0|＝2，BC＝|0﹣6|＝6，AC＝|﹣2﹣6|＝8，故答案为：2，6，8．（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（﹣2﹣t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），因此，AB＝2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2，BC＝（6+5t）﹣2t＝3t+6，AC＝6+5t﹣（﹣2﹣t）＝6t+8，②BC﹣AB＝3t+6﹣（3t+2）＝4，答：BC﹣AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．4．如图，点A表示的数是﹣4．（1）在数轴上表示出原点O；（2）指出点B所表示的数；（3）在数轴上找一点C，它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？【解答】解：（1）原点在点A的右侧距离点A四个单位长度，如下图：（2）点B在原点的右侧距离原点3个单位，因此点B所表示的数为3，答：点B所表示的数为3，（3）①当点C在点B的左侧时，3﹣2＝1，②当点C在点B的右侧时，3+2＝5，因此点C表示的数为1或5．答：点C表示的数为1或5．5．已知数轴上点A，O，P所表示的数分别是﹣3，0，x点P在线段AO上．（1）请在数轴上标出A，O两点；（2）①线段AP＝　x+3　（用含x的式子表示）②在点P右侧的数轴上画线段PQ＝AP，当OP＝2OQ时，求x的值．【解答】解：（1）如图所示：（2）①线段AP＝x+3；②情况一：当点Q在点O的左侧时，如图：∵AP＝PQ，∴AQ＝2AP＝2（x+3）＝2x+6，OQ＝OA﹣AQ＝3﹣（2x+6）＝﹣2x﹣3，OP＝﹣x，OP＝2OQ，﹣x＝2（﹣2x﹣3），x＝﹣2．情况二：当点Q在点O右侧时，如图：此时OQ＝AQ﹣OA＝（2x+6）﹣3＝2x+3，OP＝2OQ，﹣x＝2（2x+3），．综上，x的值为﹣2或．故答案为：x+3．6．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为 　60　个单位长度；乙到达A点时共运动了 　15　秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得x+4x＝60，解得 x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况，相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此时相遇点的数是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．7．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是﹣30，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒．（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；（2）当电子蚂蚁运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含t的式子表示）（3）当电子蚂蚁运行t（t＞10）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含t的式子表示）【解答】解：（1）乙到达A处时所用的时间是（30+15）÷6＝7.5（秒）此时甲向左移动了3×7.5＝22.5单位，所以甲所在位置对应的数是﹣30+（+22.5）＝﹣7.5；（2）因为电子蚂蚁甲，乙分别向右，左移动，所以移动t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是﹣30+（+3t）＝3t﹣30，15+（﹣6t）＝15﹣6t，（3）由（2）知，运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是3t﹣30，15﹣6t，当t＞10时，3t﹣30＞0，15﹣6t＜0，所以，运行t（t＞10）秒后，甲，乙间的距离是|3t﹣30|+|15﹣6t|＝（3t﹣30）﹣（15﹣6t）＝（9t﹣45）个单位．8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　，B：　 　；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数　 　表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　．【解答】解：（1）A：1，B：﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是1﹣4＝﹣3或1+4＝5．故答案为：﹣3或5；（3）将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则对称点是﹣1，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧）可知，M点表示数﹣1010.5，N点表示数1008.5．故答案为：﹣1010.5、1008.5．9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）原点在第 　 　部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，直接写出d的值．【解答】解：（1）∵bc＜0，∴b，c异号，∴原点在B，C之间，即第③部分，故答案为：③；（2）∵BC＝3，b＝﹣1，点C在点B的右边，∴C表示的数为：﹣1+3＝2，∵AC＝5，A点在点C的左边，∴点A表示的数为：2﹣5＝﹣3，∴a的值为﹣3；（3）∵C表示的数为2，∴OC＝2，∵点B表示的数为﹣1，点D表示的数为d，BD＝2OC，∴|d﹣（﹣1）|＝4，解得：d＝3或﹣5，∴d的值为3或﹣5．10．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是　 　；②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？【解答】解：（1）根据定义：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，可知：点D是（B，C）的奇异点；（2）①（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是2，故答案为2；②（M，N）的奇异点K在点N的右侧，设K点表示的数为x，则由题意得，x﹣（﹣2）＝2（x﹣4）解得x＝10∴若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，K点表示的数为10；（3）设点P表示的数为y，当点P是（A，B）的奇异点时，则有y+20＝2（40﹣y）解得y＝20．当点P是（B，A）的奇异点时，则有40﹣y＝2（y+20）解得y＝0．当点A是（B，P）的奇异点时，则有40+20＝2（y+20）解得y＝10．当点B是（A，P）的奇异点时，则有40+20＝2（40﹣y）解得y＝10．∴当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．11．定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　 　；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．【解答】解：（1）①，∴m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．故答案为：2．②∵m＜0，∴m＝﹣2．∵点M为线段AN的中点，∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8．∴ON＝8，ON＝2OA，故N点是点A的2倍原距点．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点．∴，解①得：t1＝9，t2＝1．将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|，解得：，；将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|，解得：a3＝4，a4＝8．故a所有的可能值为：4，8，，．12．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　 ；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．【解答】解：（1）∵﹣2+＝0.5，2+＝4.5，∴数不是点A，B的“倍分点”；∵1+2＝3，2﹣1＝1，∴数1是点A，B的“倍分点”；∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，∴数4是点A，B的“倍分点”；故答案为：1，4；（2）设点D对应的数为x，①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，所以当时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；当时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得；点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得；点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；当点B为倍分点时，同理可求，﹣90，150，．综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，﹣90，150，．13．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）．【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的有理数是：﹣6+2×1＝﹣4；（2）点P与点B重合，即PA＝BA＝4﹣（﹣6）＝10，由路程除以速度，得t＝10÷2＝5（s）；（3）当0≤t≤5时，点P与点A的距离是：2t，当5＜t≤10时，点P与点A的距离是：20﹣2t．（4）点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度，得P点表示的数是﹣a或a，当P表示﹣a时，﹣6+2t＝﹣a或﹣6+20﹣2t＝﹣a，解得：t＝或7+；当P表示a时，﹣6+2t＝a或﹣6+20﹣2t＝a，解得：t＝3+或7﹣；综上，t的值是3或7．14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　 ．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　．若|x+3|＝4，则x＝　 　．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　　．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 　 　.则满足条件的所有整数x的和为 　 　．（5）若x表示一个有理数，当x为 　 　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 　　．【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．故答案为：4，5；（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；若|x+3|＝4，则x+3＝4或﹣4，∴x＝1或﹣7，故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．故答案为：5；（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，此时不符合x＜﹣1，舍去；当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，解得：x＝3，此时不符合x＞3，舍去．∴x＝﹣1或0或1或2或3；满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．故答案为：3，6．15．如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，点P表示的有理数是 　　，当点P与点B重合时，t的值是 　　；（2）①在点P由点A到点B的运动过程中，P表示的有理数是 　　（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是 　 　（用含t的代数式表示）．（3）若点P从点A出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点B到点A的方向运动，当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是 　 　．【解答】解：（1）﹣4+2×2＝0．答：求t＝2时点P表示的有理数为0．当点P与点B重合时，依题意得﹣4+2t＝6，解得t＝5．答：当t＝5时，点P与点B重合．故答案为：0，5；（2）①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是﹣4+2t，故答案为：﹣4+2t；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是6﹣（2t﹣10）＝16﹣2t；故答案为：16﹣2t；（3）当0≤t≤5时，点P表示的有理数是﹣4+2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（﹣4+2t）﹣（6﹣t）|＝1，解得：t＝或t＝3；当5＜t≤10时，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）＝16﹣2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（16﹣2t）﹣（6﹣t）|＝1，即16﹣2t＝2或16﹣2t＝﹣2，解得：t＝9或t＝11（舍）．答：当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是或3或9．专题1.7 数轴上的动点问题（专项训练）1．如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？【解答】解：根据所给图形可知：（1）A点表示2，B点表示5，C点表示﹣4，O点表示0；（2）蚂蚁实际上是从原点出发，向原点左侧爬行了4个单位．2．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？【解答】解：（1）90﹣（﹣10）＝100，100÷2＝50．借助数轴可知，与A，B两点距离相等的M点对应的数为40．（2）相遇前：（100﹣35）÷（2+3）＝13（秒），相遇后：（35+100）÷（2+3）＝27（秒），则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．3．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝　2　，BC＝　6　，AC＝　8　；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣0|＝2，BC＝|0﹣6|＝6，AC＝|﹣2﹣6|＝8，故答案为：2，6，8．（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（﹣2﹣t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），因此，AB＝2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2，BC＝（6+5t）﹣2t＝3t+6，AC＝6+5t﹣（﹣2﹣t）＝6t+8，②BC﹣AB＝3t+6﹣（3t+2）＝4，答：BC﹣AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．4．如图，点A表示的数是﹣4．（1）在数轴上表示出原点O；（2）指出点B所表示的数；（3）在数轴上找一点C，它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？【解答】解：（1）原点在点A的右侧距离点A四个单位长度，如下图：（2）点B在原点的右侧距离原点3个单位，因此点B所表示的数为3，答：点B所表示的数为3，（3）①当点C在点B的左侧时，3﹣2＝1，②当点C在点B的右侧时，3+2＝5，因此点C表示的数为1或5．答：点C表示的数为1或5．5．已知数轴上点A，O，P所表示的数分别是﹣3，0，x点P在线段AO上．（1）请在数轴上标出A，O两点；（2）①线段AP＝　x+3　（用含x的式子表示）②在点P右侧的数轴上画线段PQ＝AP，当OP＝2OQ时，求x的值．【解答】解：（1）如图所示：（2）①线段AP＝x+3；②情况一：当点Q在点O的左侧时，如图：∵AP＝PQ，∴AQ＝2AP＝2（x+3）＝2x+6，OQ＝OA﹣AQ＝3﹣（2x+6）＝﹣2x﹣3，OP＝﹣x，OP＝2OQ，﹣x＝2（﹣2x﹣3），x＝﹣2．情况二：当点Q在点O右侧时，如图：此时OQ＝AQ﹣OA＝（2x+6）﹣3＝2x+3，OP＝2OQ，﹣x＝2（2x+3），．综上，x的值为﹣2或．故答案为：x+3．6．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为 　60　个单位长度；乙到达A点时共运动了 　15　秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得x+4x＝60，解得 x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况，相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此时相遇点的数是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．7．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是﹣30，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒．（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；（2）当电子蚂蚁运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含t的式子表示）（3）当电子蚂蚁运行t（t＞10）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含t的式子表示）【解答】解：（1）乙到达A处时所用的时间是（30+15）÷6＝7.5（秒）此时甲向左移动了3×7.5＝22.5单位，所以甲所在位置对应的数是﹣30+（+22.5）＝﹣7.5；（2）因为电子蚂蚁甲，乙分别向右，左移动，所以移动t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是﹣30+（+3t）＝3t﹣30，15+（﹣6t）＝15﹣6t，（3）由（2）知，运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是3t﹣30，15﹣6t，当t＞10时，3t﹣30＞0，15﹣6t＜0，所以，运行t（t＞10）秒后，甲，乙间的距离是|3t﹣30|+|15﹣6t|＝（3t﹣30）﹣（15﹣6t）＝（9t﹣45）个单位．8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　，B：　 　；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数　 　表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　．【解答】解：（1）A：1，B：﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是1﹣4＝﹣3或1+4＝5．故答案为：﹣3或5；（3）将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则对称点是﹣1，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧）可知，M点表示数﹣1010.5，N点表示数1008.5．故答案为：﹣1010.5、1008.5．9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）原点在第 　 　部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，直接写出d的值．【解答】解：（1）∵bc＜0，∴b，c异号，∴原点在B，C之间，即第③部分，故答案为：③；（2）∵BC＝3，b＝﹣1，点C在点B的右边，∴C表示的数为：﹣1+3＝2，∵AC＝5，A点在点C的左边，∴点A表示的数为：2﹣5＝﹣3，∴a的值为﹣3；（3）∵C表示的数为2，∴OC＝2，∵点B表示的数为﹣1，点D表示的数为d，BD＝2OC，∴|d﹣（﹣1）|＝4，解得：d＝3或﹣5，∴d的值为3或﹣5．10．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是　 　；②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？【解答】解：（1）根据定义：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，可知：点D是（B，C）的奇异点；（2）①（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是2，故答案为2；②（M，N）的奇异点K在点N的右侧，设K点表示的数为x，则由题意得，x﹣（﹣2）＝2（x﹣4）解得x＝10∴若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，K点表示的数为10；（3）设点P表示的数为y，当点P是（A，B）的奇异点时，则有y+20＝2（40﹣y）解得y＝20．当点P是（B，A）的奇异点时，则有40﹣y＝2（y+20）解得y＝0．当点A是（B，P）的奇异点时，则有40+20＝2（y+20）解得y＝10．当点B是（A，P）的奇异点时，则有40+20＝2（40﹣y）解得y＝10．∴当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．11．定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　 　；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．【解答】解：（1）①，∴m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．故答案为：2．②∵m＜0，∴m＝﹣2．∵点M为线段AN的中点，∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8．∴ON＝8，ON＝2OA，故N点是点A的2倍原距点．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点．∴，解①得：t1＝9，t2＝1．将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|，解得：，；将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|，解得：a3＝4，a4＝8．故a所有的可能值为：4，8，，．12．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　 ；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．【解答】解：（1）∵﹣2+＝0.5，2+＝4.5，∴数不是点A，B的“倍分点”；∵1+2＝3，2﹣1＝1，∴数1是点A，B的“倍分点”；∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，∴数4是点A，B的“倍分点”；故答案为：1，4；（2）设点D对应的数为x，①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，所以当时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；当时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得；点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得；点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；当点B为倍分点时，同理可求，﹣90，150，．综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，﹣90，150，．13．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）．【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的有理数是：﹣6+2×1＝﹣4；（2）点P与点B重合，即PA＝BA＝4﹣（﹣6）＝10，由路程除以速度，得t＝10÷2＝5（s）；（3）当0≤t≤5时，点P与点A的距离是：2t，当5＜t≤10时，点P与点A的距离是：20﹣2t．（4）点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度，得P点表示的数是﹣a或a，当P表示﹣a时，﹣6+2t＝﹣a或﹣6+20﹣2t＝﹣a，解得：t＝或7+；当P表示a时，﹣6+2t＝a或﹣6+20﹣2t＝a，解得：t＝3+或7﹣；综上，t的值是3或7．14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　 ．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　．若|x+3|＝4，则x＝　 　．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　　．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 　 　.则满足条件的所有整数x的和为 　 　．（5）若x表示一个有理数，当x为 　 　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 　　．【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．故答案为：4，5；（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；若|x+3|＝4，则x+3＝4或﹣4，∴x＝1或﹣7，故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．故答案为：5；（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，此时不符合x＜﹣1，舍去；当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，解得：x＝3，此时不符合x＞3，舍去．∴x＝﹣1或0或1或2或3；满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．故答案为：3，6．15．如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，点P表示的有理数是 　　，当点P与点B重合时，t的值是 　　；（2）①在点P由点A到点B的运动过程中，P表示的有理数是 　　（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是 　 　（用含t的代数式表示）．（3）若点P从点A出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点B到点A的方向运动，当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是 　 　．【解答】解：（1）﹣4+2×2＝0．答：求t＝2时点P表示的有理数为0．当点P与点B重合时，依题意得﹣4+2t＝6，解得t＝5．答：当t＝5时，点P与点B重合．故答案为：0，5；（2）①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是﹣4+2t，故答案为：﹣4+2t；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是6﹣（2t﹣10）＝16﹣2t；故答案为：16﹣2t；（3）当0≤t≤5时，点P表示的有理数是﹣4+2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（﹣4+2t）﹣（6﹣t）|＝1，解得：t＝或t＝3；当5＜t≤10时，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）＝16﹣2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（16﹣2t）﹣（6﹣t）|＝1，即16﹣2t＝2或16﹣2t＝﹣2，解得：t＝9或t＝11（舍）．答：当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是或3或9．专题1.7 数轴上的动点问题（专项训练）1．如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？【解答】解：根据所给图形可知：（1）A点表示2，B点表示5，C点表示﹣4，O点表示0；（2）蚂蚁实际上是从原点出发，向原点左侧爬行了4个单位．2．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？【解答】解：（1）90﹣（﹣10）＝100，100÷2＝50．借助数轴可知，与A，B两点距离相等的M点对应的数为40．（2）相遇前：（100﹣35）÷（2+3）＝13（秒），相遇后：（35+100）÷（2+3）＝27（秒），则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．3．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝　2　，BC＝　6　，AC＝　8　；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣0|＝2，BC＝|0﹣6|＝6，AC＝|﹣2﹣6|＝8，故答案为：2，6，8．（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（﹣2﹣t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），因此，AB＝2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2，BC＝（6+5t）﹣2t＝3t+6，AC＝6+5t﹣（﹣2﹣t）＝6t+8，②BC﹣AB＝3t+6﹣（3t+2）＝4，答：BC﹣AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．4．如图，点A表示的数是﹣4．（1）在数轴上表示出原点O；（2）指出点B所表示的数；（3）在数轴上找一点C，它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？【解答】解：（1）原点在点A的右侧距离点A四个单位长度，如下图：（2）点B在原点的右侧距离原点3个单位，因此点B所表示的数为3，答：点B所表示的数为3，（3）①当点C在点B的左侧时，3﹣2＝1，②当点C在点B的右侧时，3+2＝5，因此点C表示的数为1或5．答：点C表示的数为1或5．5．已知数轴上点A，O，P所表示的数分别是﹣3，0，x点P在线段AO上．（1）请在数轴上标出A，O两点；（2）①线段AP＝　x+3　（用含x的式子表示）②在点P右侧的数轴上画线段PQ＝AP，当OP＝2OQ时，求x的值．【解答】解：（1）如图所示：（2）①线段AP＝x+3；②情况一：当点Q在点O的左侧时，如图：∵AP＝PQ，∴AQ＝2AP＝2（x+3）＝2x+6，OQ＝OA﹣AQ＝3﹣（2x+6）＝﹣2x﹣3，OP＝﹣x，OP＝2OQ，﹣x＝2（﹣2x﹣3），x＝﹣2．情况二：当点Q在点O右侧时，如图：此时OQ＝AQ﹣OA＝（2x+6）﹣3＝2x+3，OP＝2OQ，﹣x＝2（2x+3），．综上，x的值为﹣2或．故答案为：x+3．6．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为 　60　个单位长度；乙到达A点时共运动了 　15　秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得x+4x＝60，解得 x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况，相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此时相遇点的数是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．7．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是﹣30，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒．（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；（2）当电子蚂蚁运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含t的式子表示）（3）当电子蚂蚁运行t（t＞10）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含t的式子表示）【解答】解：（1）乙到达A处时所用的时间是（30+15）÷6＝7.5（秒）此时甲向左移动了3×7.5＝22.5单位，所以甲所在位置对应的数是﹣30+（+22.5）＝﹣7.5；（2）因为电子蚂蚁甲，乙分别向右，左移动，所以移动t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是﹣30+（+3t）＝3t﹣30，15+（﹣6t）＝15﹣6t，（3）由（2）知，运行t秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是3t﹣30，15﹣6t，当t＞10时，3t﹣30＞0，15﹣6t＜0，所以，运行t（t＞10）秒后，甲，乙间的距离是|3t﹣30|+|15﹣6t|＝（3t﹣30）﹣（15﹣6t）＝（9t﹣45）个单位．8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　，B：　 　；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数　 　表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　．【解答】解：（1）A：1，B：﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是1﹣4＝﹣3或1+4＝5．故答案为：﹣3或5；（3）将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则对称点是﹣1，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2025（M在N的左侧）可知，M点表示数﹣1010.5，N点表示数1008.5．故答案为：﹣1010.5、1008.5．9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）原点在第 　 　部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，直接写出d的值．【解答】解：（1）∵bc＜0，∴b，c异号，∴原点在B，C之间，即第③部分，故答案为：③；（2）∵BC＝3，b＝﹣1，点C在点B的右边，∴C表示的数为：﹣1+3＝2，∵AC＝5，A点在点C的左边，∴点A表示的数为：2﹣5＝﹣3，∴a的值为﹣3；（3）∵C表示的数为2，∴OC＝2，∵点B表示的数为﹣1，点D表示的数为d，BD＝2OC，∴|d﹣（﹣1）|＝4，解得：d＝3或﹣5，∴d的值为3或﹣5．10．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是　 　；②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？【解答】解：（1）根据定义：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，可知：点D是（B，C）的奇异点；（2）①（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是2，故答案为2；②（M，N）的奇异点K在点N的右侧，设K点表示的数为x，则由题意得，x﹣（﹣2）＝2（x﹣4）解得x＝10∴若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，K点表示的数为10；（3）设点P表示的数为y，当点P是（A，B）的奇异点时，则有y+20＝2（40﹣y）解得y＝20．当点P是（B，A）的奇异点时，则有40﹣y＝2（y+20）解得y＝0．当点A是（B，P）的奇异点时，则有40+20＝2（y+20）解得y＝10．当点B是（A，P）的奇异点时，则有40+20＝2（40﹣y）解得y＝10．∴当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．11．定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　 　；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．【解答】解：（1）①，∴m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．故答案为：2．②∵m＜0，∴m＝﹣2．∵点M为线段AN的中点，∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8．∴ON＝8，ON＝2OA，故N点是点A的2倍原距点．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点．∴，解①得：t1＝9，t2＝1．将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|，解得：，；将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|，解得：a3＝4，a4＝8．故a所有的可能值为：4，8，，．12．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　 ；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．【解答】解：（1）∵﹣2+＝0.5，2+＝4.5，∴数不是点A，B的“倍分点”；∵1+2＝3，2﹣1＝1，∴数1是点A，B的“倍分点”；∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，∴数4是点A，B的“倍分点”；故答案为：1，4；（2）设点D对应的数为x，①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，所以当时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；当时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得；点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得；点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；当点B为倍分点时，同理可求，﹣90，150，．综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，﹣90，150，．13．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）．【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的有理数是：﹣6+2×1＝﹣4；（2）点P与点B重合，即PA＝BA＝4﹣（﹣6）＝10，由路程除以速度，得t＝10÷2＝5（s）；（3）当0≤t≤5时，点P与点A的距离是：2t，当5＜t≤10时，点P与点A的距离是：20﹣2t．（4）点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度，得P点表示的数是﹣a或a，当P表示﹣a时，﹣6+2t＝﹣a或﹣6+20﹣2t＝﹣a，解得：t＝或7+；当P表示a时，﹣6+2t＝a或﹣6+20﹣2t＝a，解得：t＝3+或7﹣；综上，t的值是3或7．14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　 ．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　．若|x+3|＝4，则x＝　 　．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　　．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 　 　.则满足条件的所有整数x的和为 　 　．（5）若x表示一个有理数，当x为 　 　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 　　．【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．故答案为：4，5；（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；若|x+3|＝4，则x+3＝4或﹣4，∴x＝1或﹣7，故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．故答案为：5；（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，此时不符合x＜﹣1，舍去；当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，解得：x＝3，此时不符合x＞3，舍去．∴x＝﹣1或0或1或2或3；满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．故答案为：3，6．15．如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，点P表示的有理数是 　　，当点P与点B重合时，t的值是 　　；（2）①在点P由点A到点B的运动过程中，P表示的有理数是 　　（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是 　 　（用含t的代数式表示）．（3）若点P从点A出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点B到点A的方向运动，当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是 　 　．【解答】解：（1）﹣4+2×2＝0．答：求t＝2时点P表示的有理数为0．当点P与点B重合时，依题意得﹣4+2t＝6，解得t＝5．答：当t＝5时，点P与点B重合．故答案为：0，5；（2）①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是﹣4+2t，故答案为：﹣4+2t；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是6﹣（2t﹣10）＝16﹣2t；故答案为：16﹣2t；（3）当0≤t≤5时，点P表示的有理数是﹣4+2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（﹣4+2t）﹣（6﹣t）|＝1，解得：t＝或t＝3；当5＜t≤10时，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）＝16﹣2t，点Q表示的数是6﹣t，∴|（16﹣2t）﹣（6﹣t）|＝1，即16﹣2t＝2或16﹣2t＝﹣2，解得：t＝9或t＝11（舍）．答：当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是或3或9．