2024-2025学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗二中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗二中高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cs45°cs15°+sin45°sin15°=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
2.在复数范围内，下列为方程x2+2x+4=0的根的是( )
A. 1+ 3iB. −1+ 3iC. 3+iD. − 3+i
3.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=4，BC=5，AB⊥AC，则该棱柱的体积为( )
A. 8
B. 12
C. 24
D. 48
4.在△ABC中，D为AC的中点，CE=2EB，则DE=( )
A. 12AB+13ACB. 13AB+12ACC. 16AB−23ACD. 23AB−16AC
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=32b,A=2B，则sinB=( )
A. 74B. 34C. 2 23D. 13
6.已知正方形ABCD的边长为3，AC与BD交于点M,AD=3AN，则MN⋅BD=( )
A. −6B. 6C. −3D. 3
7.函数f(x)=cs(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A. [kπ−14,kπ+34]，k∈Z
B. [2kπ−14,2kπ+34]，k∈Z
C. [k−14,k+34]，k∈Z
D. [2k−14,2k+34]，k∈Z
8.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= 3+i，则|z1−z2|=( )
A. 2 3B. 55C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=1+i，z2=1−i，则下列复数为纯虚数的是( )
A. z1z2B. z1−z2C. z12D. z1z2
10.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是( )
A. |a+b|>1⇔θ∈[0,2π3)B. |a+b|>1⇔θ∈(2π3,π)
C. |a−b|>1⇔θ∈(0,π3)D. |a−b|>1⇔θ∈(π3,π]
11.关于球O的下列说法正确的有( )
A. 若球O的体积为36π，则球O表面积也为36π
B. 若球O的半径变为原来的2倍，则球O体积变为原来的4倍
C. 若一平面截球O截得一半径为2的圆面且O到此截面的距离为1，则球O的表面积为20π
D. 若一正方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积与正方体的体积之比为 3π：2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=m2−m−2+(m2−3m+2)i在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数m= ______．
13.已知a、b满足|a|=4,a⋅b=6，若a在b方向上的投影向量为23b，则|a+b|=______．
14.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(1,−1),b=(3,2),c=(−1,m),m∈R．
(1)若a//c，求m的值；
(2)若b⊥c，求m的值；
(3)若a⋅b=b⋅c，求cs〈a,c〉的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2AB⋅AC=bc．
(1)求角A；
(2)若a= 3，求△ABC外接圆半径；
(3)若a= 2,b+c=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知圆锥SO的底面圆半径为2，体积为8 23π，两条母线SA、SB的夹角为60°．
(1)求圆锥SO的侧面积；
(2)求三棱锥S−AOB的体积；
(3)求三棱锥O−SAB的高．
18.(本小题17分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2bcsA=2c−a．
(1)求B的大小；
(2)若a=2 2,C=75°，求b的值；
(3)若a=2，c=3，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把△ABC的面积分成相等的两部分，求线段PQ长的最小值．
19.(本小题17分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).两个复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4)的线性运算定义为：mα+nβ=(mz1+nz3,mz2+nz4),(m,n∈R)；两个复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4)的积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|= α⋅α；若复向量α与β满足|α⋅β|=|α||β|，则称复向量α与β平行．
(1)设α=(2,3),β=(1−2i,3i)，求α⋅β；
(2)若α=(2+i,i)，求|α|；
(3)判断α=(1+i,2−i)与β=(i,m)能否平行，若能，求出实数m的值，若不能，说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.D
5.A
6.D
7.D
8.A
9.BCD
10.AD
11.ACD
12.1
13. 37
14.−14
15.(1)因为a=(1,−1),c=(−1,m)，且a/​/c，
所以1×m=−1×(−1)，所以m=1；
(2)因为b=(3,2),c=(−1,m)，且b⊥c，
所以b⋅c=−1×3+2m=0，所以m=32；
(3)因为a=(1,−1),b=(3,2),c=(−1,m),m∈R，且a⋅b=b⋅c，
所以2m−3=1，解得m=2，所以c=(−1,2)，
因为|a|= 2,|c|= 5,a⋅c=−3，
所以cs〈a,c〉=a⋅c|a||c|=−3 2⋅ 5=−3 1010．
16.(1)根据题意可知，2AB⋅AC=bc，得2bccsA=bc，解得csA=12，而0