内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024~2025学年高一下册期中考试数学试题【附解析】

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一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 由两角差的余弦函数，可得，
故选．
2. 在复数范围内，下列为方程的根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解.
【详解】因为，所以，
所以的根为.
故选：B.
3. 直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解.
【详解】直三棱柱中，，
，，
所以该棱柱的体积.
故选：C
4. 在中，D为AC中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，再根据可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
.
故选：D
5. 设的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解.
【详解】在中，由及正弦定理，得，而，
则，又，解得，
所以.
故选：A
6. 已知正方形的边长为与交于点，则（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】用表示，再利用数量积的运算律求解.
【详解】在边长为3的正方形中，与交于点，
则，，
所以.
故选：D
7. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
8. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解.
【详解】因，
则，．
为纯虚数的是，，.
故选：BCD．
10. 已知与均为单位向量，其夹角为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先计算，，再分别计算和时对应夹角的取值范围，即可判断四个选项的正误.
【详解】依题意，，.
，等价于，即，即，
即，而，故，即A正确，B错误；
，等价于，即，即，
即，而，故，即C错误，D正确.
故选：AD.
11. 关于球的下列说法正确的有（ ）
A. 若球的体积为，则球表面积也为
B. 若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍
C. 若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为
D. 若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可.
【详解】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确；
对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误；
对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确；
对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比：
，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解.
【详解】复数在复平面上对应的点，
依题意，，所以.
故答案为：1
13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而，
于是，所以.
故答案为：
14. 如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
四､解答题：本题共5小题，共77分：第15题13分：第16､17题各15分：第18､19题各17分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出.
（2）利用向量垂直的坐标表示求出.
（3）利用数量积的坐标表示求出，再利用夹角公式求解.
【小问1详解】
向量，而，则，
所以.
【小问2详解】
向量，而，则，
所以.
【小问3详解】
由，得，解得，，
而，
所以.
16. 在中，内角所对的边分别为，且
（1）求角；
（2）若，求外接圆半径；
（3）若，求的面积．
【答案】（1）；
（2）1； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的定义求出.
（2）利用正弦定理求出三角形外接圆半径.
（3）利用余弦定理及三角形面积公式求解.
【小问1详解】
由，得，解得，而，
所以.
小问2详解】
由（1）知，，则外接圆直径，
所以外接圆半径为.
【小问3详解】
由余弦定理，得，即，解得，
所以的面积.
17. 已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求三棱锥的高．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积.
（2）由（1）中信息求出三棱锥的体积.
（3）由（2），结合等体积法求出高.
【小问1详解】
由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得，
解得，圆锥的母线，
所以圆锥的侧面积为.
【小问2详解】
由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形，
则，等腰底边上的高，
的面积，
所以三棱锥的体积.
【小问3详解】
设三棱锥的高为，由（2）知，
由，得，即，解得.
所以三棱锥的高为.
18. 在中，分别是角的对边，且
（1）求的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求线段长的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和正弦和角公式求出，得到；
（2）根据正弦定理计算求解；
（3）求出，设，，利用列出方程，求出，由余弦定理和基本不等式得到，得到答案.
【小问1详解】
，由正弦定理得
，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，
，
由正弦定理，得.
【小问3详解】
因为，，
所以，
设，，
故，令，
解得，
由余弦定理得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故，即线段长的最小值为.
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量的线性运算定义为：；两个复向量的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．
（1）设，求；
（2）若，求；
（3）判断与能否平行，若能，求出实数值，若不能，说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）不平行.
【解析】
【分析】（1）（2）利用定义直接求解.
（3）利用定义求出，再利用平行的定义建立方程求解.
【小问1详解】
由，得.
【小问2详解】
由，得.
【小问3详解】
与，则
，，
，
若与能平行，则，
即，整理得，
，即方程无实数解，
所以与不平行.