内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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一、单选题
1．=（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则f的值为( )
A．B．C．D．
3．如果，，，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
4．设向量满足，，则等于( )
A．B．C．D．
5．已知（为虚数单位），则复数的虚部为
A．B．1C．D．2
6．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知表示三条不同直线，下列四种说法：
①a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③a与b平行，b与c平行，则a与c平行；
④a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直．
其中正确说法的个数为
A．4B．3C．2D．1
8．中，若，则的形状是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．直角三角形
二、多选题
9．已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ）
A．甲组数据的中位数为10
B．乙组数据的第75百分位数为9.5
C．甲､乙两组数据的极差相同
D．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．圆柱与球的表面积之比为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
11．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题
12．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为 .
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下：
，则估计这批棉花的第45百分位数为 .
14．正方体中，二面角的大小为 .
四、解答题
15．
已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求的最大值和最小值.
16．某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
(3)现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
17．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
18．如图，三棱锥中，，，为正三角形.
(1)证明：；
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A；
(2)若，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦公式即可求得答案.
【详解】
，
故选：A
2．A
【详解】由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象可得:
A=1, ,
又 ，
，
.
3．A
【分析】根据向量模长的计算公式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
故选：A.
4．B
【分析】利用向量数量积的运算律求.
【详解】.
故选：B.
5．D
【详解】，的虚部是，故选D.
6．A
【分析】连接，根据几何关系可知异面直线与所成角为或其补角，然后利用余弦定理求解出结果.
【详解】连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以异面直线与所成角为或其补角，
又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱，
所以，
所以，
故选：A.
7．D
【分析】画出一个正方体，利用其中的三条直线，对四种说法逐一进行判断，从而得出正确选项.
【详解】画出一个正方体如下图所示.与异面，与异面，而，故①错误.与相交，与相交，而与异面，故②错误.根据平行公理可知③正确.，而，故④错误.综上所述，有个正确的说法，故选D.
【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查异面直线、相交直线、平行直线的概念及辨析，属于基础题.
8．D
【分析】根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果.
【详解】因为，所以，所以，
即，所以，
又因此，
所以，即三角形为直角三角形.
故选D
【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
9．AD
【分析】
利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可.
【详解】
甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；
由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，
故乙组数据的平均数也为10，故得，所以，
又，乙组数据从小到大排列为，
所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；
易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；
两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，
故选：AD．
10．BCD
【分析】根据圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算可得.
【详解】对于A：圆锥的母线，所以圆锥的侧面积，故A错误；
对于B：圆柱的侧面积，则圆柱的表面积，
球的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B、C正确；
对于D：圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可．
【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，，
则2个球都是红球的概率为，故正确，
2个球不都是红球的概率为，故不正确．
至少有1个红球的概率为，故正确，
2个球中恰有1个红球的概率为，故正确，
故选：．
12．.
【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果.
【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为
由正方体的表面积为24，所以
则，又，所以
所以外接球的表面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查正方体外接球的表面积，属基础题.
13．61.5/
【分析】直接由百分位数的定义即可得解.
【详解】由题意，所以这批棉花的第45百分位数为从小到达排列的第9个数与第10个数的平均数，即.
故答案为：61.5.
14．.
【分析】确定是二面角的平面角，即可求得结论．
【详解】在正方体中，
面，
是二面角的平面角．
，
二面角的大小为．
故答案为：．
【点睛】本题考查面面角，解题的关键是利用线面垂直确定面面角，属于容易题．
15．(1) .
(2) 当时，；当时，.
【详解】分析：（1）根据三角恒等变换的公式，求出，由此能求出函数的最小正周期；
（2）由，得到，由此求出函数的最大值和最小值.
详解：
（1），的最小正周期是
（2）
所以 当时，；当时，
点睛：本题考查了三角函数的最小正周期的求法，三角函数的最大值与最小值的求法，试题比较基础，属于基础题，解题是要认真审题，注意三角函数图象与性质的综合运用，着重考查了推理与运算能力.
16．(1)，
(2)72.9
(3)
【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可；
（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可；
（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.
【详解】（1）由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
（2）的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
（3）的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可；
（2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可；
（3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可.
【详解】（1）用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”.
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为.
（2）用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，且）之间也相互独立.
由于，
所以，
故
.
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.
（3）用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，
则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，且）之间也相互独立.
因为，
所以，
故
.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可得出；
（2）设，由（1）可知是二面角的平面角，作交延长线于点，证明出平面，计算出、的值，即可求得的值，即可得解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
，为正三角形，为的中点，所以，，，
又，平面，平面，.
（2）解：由（1）知是二面角的平面角，
作交延长线于点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
又，，平面，
设，则在中，，则，，，
所以，，，
所以二面角的余弦值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解；
（2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，又，
，即，由，得.
（2）由余弦定理知，
即，则，解得（负值舍去），
.