2024-2025学年内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.等差数列an满足a3+a4=4，a7+a8=8，则a11+a12=( )
A. 6B. 10C. 12D. 24
2.设直线l:x−2y+2=0的倾斜角为α，则csα的值为( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P(1,t)满足PF=2，则抛物线方程为( )
A. y2=14xB. y2=12xC. y2=2xD. y2=4x
4.设a∈R，则“直线l1:x+y−2a=0与直线l2:a2−2x−y+2=0平行”是“a=±1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知数列{an}满足an+1=(−1)nan+1，且a2=1，则a6=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为棱AB，A1C1的中点.设BA=a，BB1=b，BC=c，则EF=( )
A. 12a+b+12cB. 12a+12b+cC. a+12b+12cD. b+12c
7.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心是坐标原点O，F是椭圆E的焦点.若椭圆E上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为( )
A. 12B. 4−2 3C. 3−1D. 32
8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线kx−y−k+1=0与圆(x−1)2+y2=4相交于A,B两点，则AB的最小值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C:x2m−y2=1的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是( )
A. 实轴长为6B. 虚轴长为2C. 焦距为2 2D. 离心率为2 23
10.已知空间中三点A(0,1,1)，B(2,2,1)，C(2,1,0)，则( )
A. BC=2
B. BC方向上的单位向量坐标是0,− 22,− 22
C. n=(1,−2,2)是平面ABC的法向量
D. AC在BC上的投影向量的模为 2
11.已知圆O:x2+y2=4，动直线l过点P3,0，下列结论正确的是( )
A. 当l与圆O相切于点E时，PE= 5
B. 点P到圆O上点的距离的最大值为5
C. 点P到圆O上点的距离的最小值为2
D. 若点Q0,1在l上，l与圆O相交于点M,N，则MN= 31010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线y2=8x上一点Mx0,2，则点M到该抛物线的焦点F的距离为 ．
13.设数列an的前n项和Sn=n2+3n+1，则a3= ．
14.已知A−1,0、B1,0、C1,2 3，若▵PAB的周长为6，则PB+PC的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
16.(本小题12分)
已知直线l:mx+y−6m=0，圆M:(x−1)2+y2=9．
(1)若m=12，求直线l截圆M所得的弦长;
(2)已知直线l过定点P.若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程．
17.(本小题12分)
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为 6，过点(−5,2)，且焦点在x轴上;
(2)两个焦点的坐标分别为F1(0,−5)，F2(0,5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6;(3)与双曲线x216−y24=1有公共焦点，且过点(3 2,2)．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，PA=3，AB=AD=12BC=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC．
(1)求证：DE⊥平面APC;
(2)求平面APC与平面PCD所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，其右顶点A2,0，离心率e= 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l:y=kx+mk≠0与椭圆C交于不同的两点M，N(M,N不与左、右顶点重合)，且MA⋅NA=0.求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.A
5.C
6.D
7.C
8.D
9.AB
10.BC
11.AB
12.52
13.8
14.8；−85,−3 35
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意得S3=3a1+3d=−15．
由a1=−7，得d=2．
所以{an}的通项公式为an=−7+n−1×2=2n−9．
(2)由(1)得Sn=n2n−9−72=n2−8n=(n−4)2−16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16．

16.解：(1)当m=12时，直线l:x+2y−6=0，
圆M的圆心为M(1,0)，半径为3，
则圆心M到直线l的距离为|1−6| 4+1= 5，
则直线l截圆M所得的弦长为2 9−5=4；
(2)对于直线l，令x=6，则y=0，所以P(6,0)，
由题意易得切线的斜率存在，
则可设直线PA(A为切点)的方程为y=k(x−6)，即kx−y−6k=0，
所以|k−6k| k2+1=3，
解得k=±34，
故所求切线方程为y=±34(x−6)，即3x−4y−18=0或3x+4y−18=0．

17.解：(1)半焦距为 6，则c= 6，又焦点在x轴上，
所以设双曲线的方程为x2a2−y26−a2=1，(00)，
由双曲线的定义知2a=6，又c=5，
∴a=3，b2=c2−a2=16，
∴双曲线的标准方程为y29−x216=1；
(3)设双曲线的标准方程为x216−k−y24+k=1，(−40，
MA•NA=0，则x1−2,y1x2−2,y2=0，
即x1−2x2−2+y1y2=0，
∴4m2−44k2+1−2×−8km4k2+1+4+k2×4m2−44k2+1+km×−8km4k2+1+m2=0
整理得5m2+16mk+12k2=0，
∴m=−65k或m=−2k，
均满足4k2−m2+1>0
∴直线lMN:y=kx−65或y=kx−2，
∴直线过定点65,0或2,0(与题意矛盾，舍去)
综上知直线过定点65,0．