2025-2026学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知A-1,0,B2,2,C5,-2三点，▵ABC的边AC上的高所在直线的斜率是( )
A. -1B. 2C. 3D. 6
3.若直线l的方向向量为a=12,0,1，平面α的法向量为n=-2,0,-4，则( )
A. l//αB. l⊥αC. 1⊂αD. l与α斜交
4.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，PR=13PQ，则点R的坐标为( )
A. 23,2,43B. 13,2,13C. 1,2,1D. 43,2,43
5.如图，在空间四边形OABC中，M是OA的中点，点N在BC上，且CN=2NB，设MN=xOA+yOB+zOC，则x，y，z的值分别为( )
A. 12，13，23B. 12，23，13C. -12，23，13D. -12，13，23
6.在三棱锥O-ABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，点P在底面ABC内，已知点P到OA，OB，OC所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP的长为( )
A. 3 22B. 3 32C. 3D. 92
7.已知点Ax1,y1，Bx2,y2在x轴同侧，x轴上一点P满足PA+PB为最小．设PA，PB的斜率分别是k1，k2，则( )．
A. k1k2=1B. k1k2=-1C. k1+k2=0D. k1-k2=0
8.若过点A2,1，Bm,3的直线的倾斜角α的取值范围是π4,3π4，则实数m的取值范围是( )
A. 0,2B. 0,4C. 2,4D. 0,2∪2,4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点A1,1,0，B1,0,2，C2,-1,5，D1,-2,4，则下列结论正确的是( )
A. AB=0,-1,2
B. A，B，C三点共线
C. AD⊥BC
D. AC在BD上的投影向量为0,-72,72
10.抛掷两枚硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则下列说法错误的是( )
A. 事件A和B互斥B. 事件A和B互相对立
C. 事件A和B相互独立D. 事件A和B的概率相等
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E在线段CC1上运动，则( )
A. 三棱锥A1-AB1E的体积为定值
B. A1E⊥B1D1
C. 若E为线段CC1的中点，则点E到直线B1D的距离为 2
D. 存在某个点E，使直线A1E与平面BCC1B1所成角为60 ∘
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为 ．
13.已知A2,2，Ba,0，C0,b，ab≠0不能构成三角形，则1a+1b= ．
14.如图，四面体ABCD的各棱长均为2，E，F分别为棱DA，BC的中点，设DA=a，DB=b，DC=c；则两条异面直线BE，DF所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC的顶点A1,3，B2,7，C-3,4，F为BC的中点．
(1)求直线AF的斜率；
(2)判断▵ABC的形状；
16.(本小题15分)
已知向量a=-2,-1,2,b=-1,1,2,c=x,2,2．
(1)求a-2b；
(2)当c=2 2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；
(3)若向量c与向量a,b共面向量，求x的值．
17.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD=2AB=4，E，F分别为AA1，CD的中点．

(1)证明：B1D⊥A1C1；
(2)求点E到平面B1C1F的距离
(3)求三棱锥F-EB1C1的体积．
18.(本小题17分)
某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间(单位：小时)，所得数据都在50,150内，将所得的数据分成4组：50,75,75,100,100,125,125,150,得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及自习时间在100,150内的学生人数；
(2)估计该校每个学生一个学期自习的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(3)从100,125和125,150用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在125,150内的概率．
19.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，▵PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．
(1)取线段PA中点M，连接BM，判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由；
(2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 105？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.C
6.A
7.C
8.B
9.AD
10.AB
11.ABC

13.12或0.5
14.23．
15.【详解】(1)解：因为B2,7，C-3,4，且F为BC的中点，
设F(x0,y0)，由中点公式得x0=2+(-3)2=-12,y0=7+42=112，即F(-12,112)，
又因为A1,3，可得直线AF的斜率为kAF=112-3-12-1=-53．
(2)解：因为A1,3，B2,7，C-3,4，且kAF=-53，
由斜率公式，可得kAB=7-32-1=4,kAC=4-3-3-1=-14,kBC=4-7-3-2=35，
又因为kAB⋅kAC=-1，所以AB⊥AC，即∠A=90∘，所以▵ABC为直角三角形，
又由F为BC的中点，且kAF⋅kBC=-1，所以AF⊥BC，所以▵ABC为等腰三角形
所以▵ABC为等腰直角三角形．

16.【详解】(1)∵a=-2,-1,2，b=-1,1,2，
∴a-2b=-2,-1,2-2-1,1,2=0,-3,-2，
∴a-2b= 9+4= 13．
(2)因为|c|=2 2，
所以 x2+22+22=2 2，解得x=0，
因为ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2)，且向量ka+b与c垂直，
所以(ka+b)⋅c=0，c=(0,2,2)
即2-2k+4k+4=2k+6=0，
∴k=-3．
所以实数x和k的值分别为0和-3；
(3)解：设c=λa+μbλ,μ∈R，
则(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2)
解得，x=-12,λ=-12,μ=32
即c=-12a+32b，
所以向量c与向量a，b共面．

17.【详解】(1)分别以D1A1,D1C1,D1D为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(2,0,0),C1(0,2,0),B1(2,2,0),D(0,0,4)，A1C1=(-2,2,0),B1D=(-2,-2,4)，
A1C1⋅B1D=4-4+0=0，
所以A1C1⊥B1D，所以B1D⊥A1C1；
(2)由(1)知E(2,0,2),F(0,1,4)，C1B1=(2,0,0),C1F=(0,-1,4),EF=(-2,1,2)，
设平面B1C1F的一个法向量是n=(x,y,z)，
则C1B1⋅n=2x=0C1F⋅n=-y+4z=0，令z=1得n=(0,4,1)，
所以E点到平面B1C1F的距离为d=EF⋅nn=6 17=6 1717；
(3)长方体中，B1C1⊥平面C1D1DC，C1F⊂平面C1D1DC，所以B1C1⊥C1F，
又C1F= 17，所以S▵B1C1F=12B1C1×C1F=12×2× 17= 17，
所以三棱锥F-EB1C1的体积VF-EB1C1=VE-B1C1F=13× 17×6 17=2．

18.【详解】(1)由频率分布直方图可知：0.004+0.008+0.012+a×25=1，解得a=0.016，
一个学期自习时间在100,150内的学生人数为0.016+0.008×25×800=480；
(2)该校学生一个学期自习平均时间
x=50+752×0.004+75+1002×0.012+100+1252×0.016+125+1502×0.008×25=105，
即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；
(3)一个学期自习时间落在100,125的抽取人数为6×+0.008=4，
这4人分别记为A，B，C，D，
一个学期自习时间落在125,150的抽取人数为6×+0.008=2，
这2人分别记为a，b，
再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间Ω为：
Ω=A,B,A,C,A,D,A,a,A,b,B,C,B,D,B,a,B,b,C,D,C,a,C,b,D,a,D,b,a,d，共有15个样本点，
其中恰有1名一个学期自习时间落在125,150内的样本点A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b,D,a,D,b，共8个样本点，
所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在125,150内的概率P=815．

19.【详解】(1)直线BM与平面PCD平行，理由如下：
取PD的中点N，连接MN,CN，M是线段PA的中点，
▵PAD是边长为2的等边三角形，故MN//AD，MN=12AD=1，
又BC=1，BC//AD，故MN//BC，MN=BC，
所以四边形BCNM是平行四边形，故BM//CN，
又BM⊄平面PCD，CN⊂平面PCD，所以BM//平面PCD；
(2)线段PD上存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 105，PEPD=13，
理由如下：
取AD的中点O，连接OP,OC，
▵PAD是边长为2的等边三角形，故PO⊥AD，AO=OD=1,OP= 3，
因为侧面PAD⊥平面ABCD，两平面交线为AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，又OC,OD⊂平面ABCD，
所以PO⊥OC，PO⊥OD，
因为AO=BC=1，BC//AD，AB⊥AD，所以四边形ABCO为矩形，
故AO⊥OC，所以OC,OD,OP两两垂直，
以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设PEPD=t∈0,1，则A0,-1,0,C1,0,0,D0,1,0,P0,0, 3，
故PD=0,1,- 3，设E0,m,n，则PE=0,m,n- 3，
0,m,n- 3=t0,1,- 3，故m=t,n- 3=- 3t，故m=t,n= 3- 3t，
所以E0,t, 3- 3t，AC=1,1,0,AE=0,t+1, 3- 3t，
当t=1时，E,D重合，平面EAC与平面DAC夹角为0，余弦值为1，不合要求；
当t≠1，即t∈0,1，设平面EAC的法向量为a=x,y,z，
则a⋅AC=x,y,z⋅1,1,0=x+y=0a⋅AE=x,y,z⋅0,t+1, 3- 3t=t+1y+ 3- 3tz=0,
令y=1，则x=-1，z=t+1 3t- 3，故a=-1,1,t+1 3t- 3，
显然平面DAC的一个法向量为b=0,0,1，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=-1,1,t+1 3t- 3⋅0,0,1 1+1+t+123t-12=t+1 3- 3t 2+t+123t-12= 105，
化简得3t2-10t+3=0，解得t=13或3(舍去)，故PEPD=13，
线段PD上存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 105，此时PEPD=13．