2024-2025学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗二中高一（下）期中数学试卷（含解析），文件包含2026年上海市杨浦区高三下学期二模历史试卷和答案docx、2026年上海市杨浦区高三下学期二模历史试卷和答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cs45°cs15°+sin45°sin15°=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
2.在复数范围内，下列为方程x2+2x+4=0的根的是( )
A. 1+ 3iB. −1+ 3iC. 3+iD. − 3+i
3.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=4，BC=5，AB⊥AC，则该棱柱的体积为( )
A. 8
B. 12
C. 24
D. 48
4.在△ABC中，D为AC的中点，CE=2EB，则DE=( )
A. 12AB+13ACB. 13AB+12ACC. 16AB−23ACD. 23AB−16AC
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=32b,A=2B，则sinB=( )
A. 74B. 34C. 2 23D. 13
6.已知正方形ABCD的边长为3，AC与BD交于点M,AD=3AN，则MN⋅BD=( )
A. −6B. 6C. −3D. 3
7.函数f(x)=cs(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A. [kπ−14,kπ+34]，k∈Z
B. [2kπ−14,2kπ+34]，k∈Z
C. [k−14,k+34]，k∈Z
D. [2k−14,2k+34]，k∈Z
8.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= 3+i，则|z1−z2|=( )
A. 2 3B. 55C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=1+i，z2=1−i，则下列复数为纯虚数的是( )
A. z1z2B. z1−z2C. z12D. z1z2
10.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是( )
A. |a+b|>1⇔θ∈[0,2π3)B. |a+b|>1⇔θ∈(2π3,π)
C. |a−b|>1⇔θ∈(0,π3)D. |a−b|>1⇔θ∈(π3,π]
11.关于球O的下列说法正确的有( )
A. 若球O的体积为36π，则球O表面积也为36π
B. 若球O的半径变为原来的2倍，则球O体积变为原来的4倍
C. 若一平面截球O截得一半径为2的圆面且O到此截面的距离为1，则球O的表面积为20π
D. 若一正方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积与正方体的体积之比为 3π：2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=m2−m−2+(m2−3m+2)i在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数m= ______．
13.已知a、b满足|a|=4,a⋅b=6，若a在b方向上的投影向量为23b，则|a+b|=______．
14.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(1,−1),b=(3,2),c=(−1,m),m∈R．
(1)若a//c，求m的值；
(2)若b⊥c，求m的值；
(3)若a⋅b=b⋅c，求cs〈a,c〉的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2AB⋅AC=bc．
(1)求角A；
(2)若a= 3，求△ABC外接圆半径；
(3)若a= 2,b+c=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知圆锥SO的底面圆半径为2，体积为8 23π，两条母线SA、SB的夹角为60°．
(1)求圆锥SO的侧面积；
(2)求三棱锥S−AOB的体积；
(3)求三棱锥O−SAB的高．
18.(本小题17分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2bcsA=2c−a．
(1)求B的大小；
(2)若a=2 2,C=75°，求b的值；
(3)若a=2，c=3，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把△ABC的面积分成相等的两部分，求线段PQ长的最小值．
19.(本小题17分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).两个复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4)的线性运算定义为：mα+nβ=(mz1+nz3,mz2+nz4),(m,n∈R)；两个复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4)的积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|= α⋅α；若复向量α与β满足|α⋅β|=|α||β|，则称复向量α与β平行．
(1)设α=(2,3),β=(1−2i,3i)，求α⋅β；
(2)若α=(2+i,i)，求|α|；
(3)判断α=(1+i,2−i)与β=(i,m)能否平行，若能，求出实数m的值，若不能，说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：cs45°cs15°+sin45°sin15°=cs(45°−15°)=cs30°= 32．
故选：D．
直接利用两角和的余弦公式求解．
本题主要考查了两角和的余弦公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为方程x2+2x+4=0对应的Δ=b2−4ac=4−16=−12，
所以x2+2x+4=0的根为x=−2±2 3i2=−1± 3i．
故选：B．
根据实系数一元二次方程的求根公式求解．
本题主要考查方程根的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意可得AB= BC2−AC2=3，
所以该棱柱的体积为12×3×4×4=24．
故选：C．
根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解．
本题考查棱柱的体积的求解，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC中，D为AC的中点，CE=2EB，
∴DE=CE−CD=23CB−12CA=23(AB−AC)+12AC
=23AB−16AC．
故选：D．
根据平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由a=32b，结合正弦定理得sinA=32sinB，
因为A=2B，所以sin2B=32sinB，即2sinBcsB=32sinB，
在△ABC中，sinB>0，所以2csB=32，解得csB=34，
所以sinB= 1−cs2B= 74(舍负)．
故选：A．
根据题意，利用正弦定理及二倍角的正弦公式进行求解，可得答案．
本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与二倍角公式等知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：
则MN=AN−AM=13AD−12(AD+AB)=−16(AD+3AB)，BD=AD−AB，
所以MN⋅BD=−16(AD+3AB)⋅(AD−AB)=−16(AD2−3AB2)=−16(32−33)=3．
故选：D．
用AD,AB表示MN,BD，再利用数量积的运算律求解．
本题主要考查向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据函数f(x)=cs(ωx+φ)的部分图象如图，
可得12×2πω=54−14，∴ω=π．
再根据五点法作图，可得π×14+φ=π2，∴φ=π4，
∴f(x)=cs(πx+π4).
令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，求得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，
故函数f(x)的减区间为[2k−14,2k+34]，k∈Z．
故选：D．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再根据余弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查由函数y=Acs(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】
解：设z1=a+bi，z2= 3−a+(1−b)i，
∵|z1|=|z2|=2，
∴a2+b2=4( 3−a)2+(1−b)2=4，即a2+b2=4a2+b2−2 3a−2b+4=4，
则|z1−z2|2=(2a− 3)2+(2b−1)2=4a2+4b2−4 3a−4b+4
=2(a2+b2)+2(a2+b2−2 3a−2b)+4
=2×4+4=12，
故|z1−z2|=2 3．
故选A．
9.【答案】BCD
【解析】解：z1=1+i，z2=1−i，
z1z2=(1+i)(1−i)=2，故A错误；
z1−z2=2i，故B正确；
z12=(1+i)2=2i，故C正确；
z1z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i，故D正确．
故选：BCD．
由复数的加减乘除运算即可判断选项．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为|a+b|>1，即|a|2+2a⋅b+|b|2>1，可得a⋅b>−12，即|a||b|csθ=csθ>−12，
所以θ∈[0,2π3)，故A正确，B错误，
因为|a−b|>1，即|a|2−2a⋅b+|b|2>1，可得a⋅b−12，再结合向量夹角的范围即可求出θ的范围，由|a−b|>1可得csθ