2024-2025学年福建省厦门三十中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省厦门三十中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A. y=x+5B. y=2xC. y=2x2D. y=2x
2.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，1，1B. 1,2, 5C. 3，4，6D. 2,3,2 3
3.下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 5= 7B. 5 3− 3=5
C. 18÷ 3= 15D. 12× 3=6
4.将直线y=12x−1向下平移3个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为( )
A. y=12x−4B. y=12x−3C. y=12x+2D. y=−12x−3
5.用配方法解方程x2−6x+2=0，下列变形正确的是( )
A. (x−3)2=−2B. (x+3)2=−2C. (x−3)2=7D. (x+3)2=7
6.某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩(百分制)如表，若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5，3，2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩(百分制)是( )
A. 80B. 85C. 86D. 90
7.下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 菱形四条边相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C. 等边三角形是锐角三角形
D. 全等三角形的对应角相等
8.在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象经过点P1(−1,y1)，P2(2,y2)，且y1>y2，则k的值可能为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
9.如图所示的4×4正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点都在格点上.若线段AB为▱ABCD的一边，▱ABCD的四个顶点都在4×4正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为( )
A. 3个
B. 4个
C. 8个
D. 11个
10.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC=x，PE+PB=y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为(m,2 5)，则正方形ABCD的边长为( )
A. 2 2B. 2 5C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.已知正比例函数y=kx的图象经过点(1,2)，则k的值为______．
13.如图，在▱ABCD中，∠B=70°，若AB=AC，则∠ACD的大小为______．
14.一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是______．
15.为增强员工身体素质，营造“健康生活、快乐工作”的氛围，某公司开展了健步走计步打卡活动.以下统计图反映的是某位员工6月1日——14日连续两个星期健步走的步数.根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①该员工这14天健步走的步数的众数和中位数都是1.8万步；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低2.0排名，6月7日所走步数在这14天中排名第三；
③若该员工6月1日——7日健步走的步数的方差记作S12，6月8日——14日健步走的步数的方差记作S22，则S12>S22.其中所有正确结论的序号是______．
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，AE与BF交于点O，若四边形OFCE的面积为3，则OF−OE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算： 12× 24+6 13− 3；
(2)解方程：x2−5x+2=0．
18.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB=∠DFC.求证：DE=BF．
19.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+2的图象经过点(−1,0)，求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1，求四边形ABCD的面积．
21.(本小题8分)
为了从甲、乙两位同学中选出一人担任班长，全班同学都对甲、乙两人进行了无记名等级制投票.为了方便统计，大家约定：A表示95分，B表示90分，C表示85分，D表示80分；综合平均得分高的同学当选为班长.投票结果统计如下：
甲同学得票情况统计表
根据以上信息，解决下列问题：
(1)m= ______，n= ______；
(2)乙同学说自己D等级的票数比甲同学少，一定能当选为班长.你认为乙同学的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
22.(本小题9分)
如图，已知矩形ABCD，点E是AD中点，连接CE．
(1)尺规作图：求作与△CDE关于直线CE对称的△CFE，点D、F是对应点；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接AF，BF，延长CF交AB于G，当G恰为AB中点时，试判断△AFB的形状，并证明你的结论．
23.(本小题10分)
【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里(千米)的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．
【解决问题】
(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
24.(本小题11分)
在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC，其中点A(5,0)，B(5,4)，C(0,4).给出如下定义：若点P关于直线l：x=t的对称点P′在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l：x=3的“关联点”．
(1)如图2，在点P1(4,1)，P2(−3,3)，P3(−2,0)，P4(−6,−2)中，是矩形OABC关于直线l：x=−1的“关联点”的为______；
(2)如图2，点P(−a+1,a−1)是矩形OABC关于直线l：x=−1的“关联点”，求a的取值范围；
(3)如图3，若在直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x=−12的“关联点”，请直接写出b的取值范围______.(不写过程)
25.(本小题12分)
在等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、AC中点．
(1)连接EF、DF．
①如图1，求证：四边形DBEF为菱形；
②如图2，若点G、H分别在边EF、DF上，且满足EG=FG=4，∠DHB=2∠GBE.求FH的长；
(2)如图3，点P、M、N分别为线段DF、DB、FC上的动点，且满足PD=FN，∠MPN=120°，连接FM、MN，试探究MF2、FN2与MN2之间的数量关系．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：根据正比例函数定义逐项分析判断如下：
A.含常数项，不符合y=kx的形式，故错误；
B.y=2x，符合y=kx(k=2)，是正比例函数，正确；
C.自变量次数为2，不符合次数为1的条件，错误；
D.自变量次数为−1，不符合次数为1的条件，错误．
故选：B．
根据正比例函数定义，形如y=kx(k为常数且k≠0)，自变量x的次数为1，逐一判断选项即可．
该题考查了正比例函数，熟练掌握定义是关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.12+12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；
B.12+22=( 5)2，能构成直角三角形，正确，符合题意；
C.32+42≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D.22+32≠(2 3)2，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 5不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
B、5 3− 3=4 3，原计算错误，不符合题意；
C、 18÷ 3= 6，原计算错误，不符合题意；
D、 12× 3= 36=6，正确，符合题意，
故选：D．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=12x−1向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为：y=12x−1−3，即y=12x−4．
故选：A．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x2−6x+2=0，
移项可得：x2−6x=−2，
左右两边同时加上9：x2−6x+9=9−2，
则(x−3)2=7．
故选：C．
根据配方法的求解步骤，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6.【答案】C
【解析】解：根据加权平均数的计算方法可得：
90×5+80×3+85×25+3+2=86(分)，
∴小东同学此次演讲比赛的平均成绩(百分制)是 86 分．
故选：C．
根据各项目的分数和对应的权重，应用加权平均数公式即可求解．
本题考查加权平均数的计算，熟练掌握该知识点是关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为：四条边相等的四边形是菱形，成立，符合题意；
B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意．
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题并做出正确的判断，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：正比例函数y=kx的图象经过点P1(−1,y1)，P2(2,y2)，
∵−1y2，
∴y随x的增大而减小，
∴kS22，故本结论正确，符合题意；
故答案为：③．
①利用众数和中位数的定义即可求解；
②利用图中数据即可求解；
③根据折线统计图结合方差的意义即可判断．
本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了众数、中位数、方差．
16.【答案】2
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCF=90°，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，∠OEB=∠CFB，
∴∠OBE+∠CFB=∠OBE+∠OEB=90°，
∴AE⊥BF，
∵四边形OFCE的面积为3
∴S△AOB=3，
∴12OA⋅OB=3．
∴OA⋅OB=6．
在Rt△AOB中，OA2+OB2=16，
∴(OA−OB)2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB=4．
∴OA−OB=2．
∵OF=BF−OB，OE=AE−OA，
∴OF−OE=BF−OB−(AE−OA)=OA−OB=2，
故答案为：2．
根据正方形的性质得到AB=BC=4，∠ABC=∠BCF=90°，再根据全等三角形的判定与性质得到AE=BF，∠OEB=∠CFB，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】3 3；
x1=5+ 172，x2=5− 172．
【解析】(1)原式= 12+6× 33− 3，
=2 3+2 3− 3，
=3 3；
(2)∵a=1，b=−5，c=2，
∴Δ=b2−4ac=25−8=17，
∵x=−b± Δ2a，
∴x1=5+ 172，x2=5− 172．
(1)根据二次根式的乘法法则和化简步骤，一步步得到答案即可；
(2)一次项系数不是偶数，故选用公式法解方程，根据公式法步骤，先找到a，b，c，求出根的判别式，最后得到答案即可．
本题主要考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，解题的关键是注意计算的正确性．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC．
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C∠AEB=∠DFCAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴AD−AE=BC−CF，
即DE=BF．
【解析】根据平行四边形的判定和性质定理以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.【答案】解：将(−1,0)代入y=kx+2得0=−k+2，
解得k=2，
∴一次函数的解析式为：y=2x+2．
令x=0，则y=2
一次函数与y轴的交点为(0,2)
根据(−1,0)和(0,2)画出函数图象如下：

【解析】将(−1,0)代入解析式求解，再令x=0，得y=2，即一次函数与y轴的交点为(0,2)，再由两点画出一次函数的图象即可。
本题考查求一次函数的解析式及一次函数的图象，解题关键是如何画出一次函数的图象．
20.【答案】解：连结AC，

在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC2=AB2+BC2=22+22=8，
∵CD=3，DA=1，
∴CD2−DA2=32−12=8=AC2，
∴DA⊥AC，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12(AB⋅BC+AD⋅AC)=12(2×2+2 2×1)=2+ 2．
答：四边形ABCD的面积为2+ 2．
【解析】连结AC，根据勾股定理计算出AC的长，再由勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，进而利用S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求得四边形ABCD的面积．
本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的方法．
21.【答案】10，5；
乙同学的说法不正确．
【解析】(1)甲同学得票总数：20÷40%=50(票)，
∴n=50×10%=5，
m=50−15−20−5=10，
故答案为：10，5；
(2)乙同学的说法不正确，
假设乙D等级的票数为4票，则乙A等级的票数为50−20−15−4=11(票)，
∴x甲−=15×95+20×90+10×85+5×8050=89.5，
x乙−=11×95+20×90+15×85+4×8050=88.8
∵89.5>88.8，
∴甲当选为班长，
∴乙同学的说法不正确．
(1)先求出甲同学得票总数，再用总数乘以10%得出m，再用总数−15−20−5即可得出n；
(2)设乙D等级的票数为4票，则乙A等级的票数为50−20−15−4=11(票)，然后求出甲、乙的平均数即可得出结论．
本题考查条形统计图和扇形统计图，关键是从图形中读取有效信息．
22.【答案】解：(1)如图，过点D作CE的垂线，交CE于点H，以点H为圆心，DH的长为半径画弧，交DH的延长线于点F，连接EF，CF，
则△CFE即为所求．

(2)△AFB为直角三角形．
理由：∵△CFE与△CDE关于直线CE对称，
∴∠EFC=90°，DE=EF，
∴∠EFG=90°，
∴∠EFA+∠AFG=90°．
∵点E是AD中点，
∴AE=DE，
∴AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∴∠EAF+∠AFG=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠AFG=∠BAF，
∴AG=FG．
∵点G为AB中点，
∴AG=BG，
∴BG=FG，
∴∠ABF=∠BFG．
∵∠ABF+∠AFB+∠BAF=∠ABF+∠AFG+∠BFG+∠BAF=2∠AFG+2∠BFG=2∠AFB=180°，
∴∠AFB=90°，
∴△AFB为直角三角形．
【解析】(1)结合轴对称的性质，过点D作CE的垂线，交CE于点H，以点H为圆心，DH的长为半径画弧，交DH的延长线于点F，连接EF，CF即可．
(2)结合轴对称的性质、中点的定义、矩形的性质可得∠AFG=∠BAF，∠ABF=∠BFG.根据∠ABF+∠AFB+∠BAF=∠ABF+∠AFG+∠BFG+∠BAF=2∠AFG+2∠BFG=2∠AFB=180°，可得∠AFB=90°，则△AFB为直角三角形．
本题考查作图−轴对称变换、矩形的性质，熟练掌握轴对称的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设y关于t的函数表达式为y=k1t(k1为常数，且k1≠0)，
将t=10，y=20代入y=k1t，
得10k1=20，
解得k1=2，
∴y关于t的函数表达式为y=2t．
设e关于s的函数表达式为e=k2s+b(k2、b为常数，且k2≠0)，
将s=160，e=60和s=200，e=50分别代入e=k2s+b，
得160k2+b=60200k2+b=50，
解得k2=−14b=100，
∴e关于s的函数表达式为e=−14s+100．
(2)当s=300时，e=−14×300+100=25，
∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25，
充电t分钟后，增加的电量为y=2t，
∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为(25+2t)，
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为−14×(560−300)+100=35，
∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100−35=65，
∴25+2t−10=65，
∴t=25．
答：电动汽车在服务区充电25分钟．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)求出行驶300千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电t分钟后增加的电量，从而计算出充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量−到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量=消耗的电量”列方程，求出t的值即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
24.【答案】P2，P3；
3≤a≤5；
12≤b≤7．
【解析】(1)画出点P1(4,1)，P2(−3,3)，P3(−2,0)，P4(−6,−2)关于直线l：x=−1的对称点，如图2，
由图可知，只有点P2，P3的对称点在矩形OABC的边上或内部，
故答案为：P2，P3；
(2)设点P(−a+1,a−1)关于直线l：x=−1的对称点为P′(m,a−1)，
∴−a+1+m2=−1，
解得：m=a−3，
∴P′(a−3,a−1)，
∵点P(−a+1,a−1)是矩形OABC关于直线l：x=−1的“关联点”，
∴P′(a−3,a−1)在矩形OABC的边上或内部，
依题意得：0≤a−3≤50≤a−1≤4，
解得：3≤a≤5；
(3)b的取值范围为12≤b≤7；理由如下：
如图3，画出矩形OABC关于直线l：x=−12的对称矩形O′A′B′C′，
∵在直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x=−12的“关联点”，
∴直线y=12x+b与矩形O′A′B′C′必有交点，
当y=12x+b过点O′(−1,0)时，得：−12+b=0，
解得：b=12；
当y=12x+b过点C′(−6,4)时，得：
−12×6+b=4，
解得：b=7，
∴b的取值范围为12≤b≤7，
故答案为：12≤b≤7．
(1)画出各点关于直线 l：x=−1的对称点进行判断即可；
(2)求出点P关于直线l：x=−1的对称点P′，根据新定义，得到点P′在矩形OABC的边上或内部，列一元一次不等式组解答即可；
(3)画出矩形OABC关于直线l：x=−12的对称图形，根据直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线 l：x=−12的“关联点”，得到直线y=12x+b与矩形OABC的对称图形有交点，求出临界值，即可得出结果．
本题属于一次函数综合题，主要考查新定义，坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
25.【答案】①见解析；
②HF=165；
MN2−MF2=2FN2.理由见解答过程．
【解析】(1)①证明：∵等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴AB=BC，∠ABC=60°，BD=12AB=12BC=BE，DF为△ABC的中位线，
∴DF//BC,DF=12BC=BE，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∵BD=BE，
∴平行四边形DBEF为菱形；
②解：延长BG，DF交于点K，作HI⊥AB于点I，如图2，
∵四边形BEFD为菱形，EG=FG=4，
∴BD=BE=FE=DF=EG+FG=8，DF/​/BC，
∴∠K=∠EBG，∠ADF=∠ABC=60°，∠DHB=∠HBE，
在△BEG和△KFG中，
∠EBG=∠K∠EGB=∠FGKEG=FG，
∴△BEG≌△KFG(AAS)，
∴KF=BE=8，
∵∠HBE=∠DHB=2∠GBE，
∴BG平分∠HBE，
∴∠HBG=∠EBG，
∴∠HBG=∠K，
∴BH=HK，
设HF=x，则：BH=HK=KF+FH=8+x，DH=DF−HF=8−x，
在Rt△DIH中，∠IDH=60°，
∴∠DHI=30°，
∴DI=12DH=12(8−x)，BI= 3DI= 32(8−x)，
∴BI=BD+DI=12−12x，
在Rt△BHI中，由勾股定理，得：BH2=BI2+HI2，
∴(12−12x)2+[ 32(8−x)]2=(8+x)2，
解得：x=165，
∴HF=165；
(2)解：MN2−MF2=2FN2.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵DF/​/BC，
∴∠FDB+∠ABC=180°，∠DFC+∠ACB=180°，∠ADF=∠ABC=60°，
∴∠FDB=∠DFC=120°，
∴∠PMD+∠DPM=180°−∠PDM=60°，
∵∠MPN=120°，
∴∠DPM+∠FPN=180°−∠MPN=60°，
∴∠PMD=∠FPN，
在△PDM和△NFP中，
∠PMD=∠NPF∠FDM=∠NFPPD=NF，
∴△PDM≌△NFP(AAS)，
∴PM=PN，DM=PF，
∴∠PMN=∠PNM=12(180°−∠MPN)=30°，
设PD=NF=x，DM=PF=y，则：DF=x+y，
作MQ⊥DF交FD的延长线于点Q，作PT⊥MN于点T，如图3，
在Rt△MDQ中，∠MDQ=∠ADF=60°，
∴∠DMQ=30°，
∴DQ=12DM=12y，MQ= 3DQ= 32y，
∴QF=DQ+DF=x+32y，PQ=DQ+PD=12y+x，
在Rt△MQF中，由勾股定理，得：MF2=MQ2+FQ2=( 32y)2+(x+32y)2=x2+3xy+3y2，
在Rt△MQP中，由勾股定理，得：PM2=MQ2+PQ2=MF2=( 32y)2+(x+12y)2=x2+xy+y2，
∵PM=PN，PT⊥MN，
∴MN=2MT，
∵∠PMN=30°，
∴PT=12PM,MT= 3PT= 32PM，
∴MN=2MT= 3PM，
∴MN2=3PM2=3(x2+xy+y2)=3x2+3xy+3y2，
∴MN2−MF2=2x2=2FN2；
故MN2−MF2=2FN2．
(1)①等边三角形的性质，中点的定义，结合三角形的中位线定理，推出BD=12AB=12BC=BE，DF//BC,DF=12BC=BE，即可得证；
②延长BG，DF交于点K，作HI⊥AB于点I，证明△BEG≌△KFG，得到KF=BE=8，证明BG平分∠HBE，推出BH=HK，设HF=x，得到BH=HK=KF+FH=8+x，DH=DF−HF=8−x，在Rt△DIH，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出DI=12DH=12(8−x)，BI= 3DI= 32(8−x)，在Rt△BHI中，利用勾股定理列出方程进行求解即可；
(3)先证明△PDM≌△NFP，得到PM=PN，DM=PF，等边对等角得到∠PMN=∠PNM=12(180°−∠MPN)=30°，设PD=NF=x，DM=PF=y，则：DF=x+y，作MQ⊥DF交FD的延长线于点Q，作PT⊥MN于点T，易得△MQD为含30度角的直角三角形，得到DQ=12DM=12y，MQ= 3DQ= 32y，在Rt△MQF中，勾股定理得到MF2=MQ2+FQ2=x2+3xy+3y2，在Rt△MQP中，由勾股定理，得到PM2=x2+xy+y2，三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出MN2=3PM2=3(x2+xy+y2)=3x2+3xy+3y2，进而得到MN2−MF2=2x2=2FN2即可．
本题属于四边形综合题，主要考查三角形的中位线定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键．演讲内容
演讲能力
演讲效果
分数
90
80
85
x
…
−4
−3
−2
−1
0
…
y
…
9
7
5
3
1
…
等级
A
B
C
D
人数
15
20
m
n
电池充电状态
时间t(分钟)
0
10
15
40
增加的电量y(%)
0
20
30
80
汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)
160
200
280
显示电量e(%)
100
60
50
30