2022-2023学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  四边形是平行四边形，下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  正比例函数的图象经过的象限是(    )

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限

4.  某学校要招聘一名教师，分笔试和面试两次考试，笔试、面试和最后得分的满分均为分，竞聘教师的最后得分按笔试成绩：面试成绩：的比例计算．在这次招聘考试中，某竞聘教师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则该竞聘教师的最后成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

5.  已知点，都在直线上，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法比较

6.  如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在的正方形网格中，每一格长度为，小正方形的顶点称为格点，，，，，，都在格点上，以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有(    )

A. 处
B. 处
C. 处
D. 处

9.  若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，▱在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，▱的面积为，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______；
______．

12.  如图，在长为，宽为的长方形中，采用如图的方式，在这块木板上______ 截出个面积为正方形木板填“能”或“不能”

13.  小琪所在的社团，两年来人员没有变化，小琪知道目前社团人员年龄的方差是，则两年前社团人员的方差为______ ．

14.  如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数是          ．
 

15.  被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形若该图形的周长为，，则该图形的面积______ ．

16.  在▱中，点是对角线的中点，过点作直线，，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，连接，，，有下列四个结论：
四边形可以是平行四边形；
四边形可以是矩形；
四边形不可以是菱形；
四边形不可以是正方形；
其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，在四边形中，对角线与交于点，且，求证：四边形为平行四边形．

19.  本小题分
一次函数为常数，且，若点在此函数的图象上．
求的值；
在直角坐标系中画出函数的图象．

20.  本小题分
如图，四边形为平行四边形，
尺规作图：在边上找一点，使得，连接交于点；
在的条件下，过点作，垂足为点，若，，，求的长．

21.  本小题分
环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度达到，超过最高允许的环保局要求该企业立即整改，在天以内含天排污达标整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间天的变化规律如表所示．

分析说明整改过程中硫化物的浓度与时间大致符合怎样的函数关系？并求其函数表达式；
该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在天以内不超过最高允许的？为什么？

22.  本小题分
为了迎接第八个“中国航天日”到来，我校在年月日举行航天知识竞赛竞赛结束后，随机抽取七年级、八年级各名学生的成绩，按成绩分为如下组满分分，组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息：七年级竞赛成绩的频数分布统计表：

信息：八年级竞赛成绩的频数分布直方图如图所示：
信息：七年级学生在这一组的竞赛成绩是：
，，，，，，，，，，，，；
信息：七、八年级成绩的平均分、中位数、众数及方差统计表

请根据以上信息，解决以下问题：
补全八年级学生成绩频数分布直方图：并直接写出七年级竞赛成绩的中位数 ______ ；
请求出八年级的竞赛平均成绩；
在此次竞赛中，你认为______ 年级的竞赛成绩较好，填“七”或“八”，请给出确定该年级成绩较好的理由：______ ，______ 说出两点

23.  本小题分
已知菱形的四个顶点分别为，，，，且，对角线交点为．
求关于的表达式；
已知，连接与轴交于点，当的长度最小时，求点、的坐标．

24.  本小题分
在正方形中，正方形的边长为，点为对角线的中点，点在直线上，连接，过点作交直线于点．
如图，当点在线段上不与端点重合时，求证：；
如图，当点在线段上不与端点点重合时，请补全图形，探究线段，，的数量关系并证明；
若点在射线上且，点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长______ 用含有的代数式表示
 

25.  本小题分
定义：对于给定的一次函数、为常数，把形如、为常数的函数称为一次函数、为常数的衍生函数已知▱的顶点坐标分别为，，，．

点在一次函数的衍生函数图象上，则 ______ ；
如图，一次函数、为常数的衍生函数图象与平行四边形交于、、、四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式；
一次函数、为常数，其中、满足，它的衍生函数图象与▱恰好有两个交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，因此选项A不符合题意；
B.是最简二次根式，因此选项B符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
故选：．
根据平行四边形的性质判断即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
故选B．
根据正比例函数的图象即可得到结论．
本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：

分
该竞聘教师的最后成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的求法，求出该竞聘教师的最后成绩是多少即可．
此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，都在直线上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．
首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形与菱形面积的计算等知识；解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，点是斜边的中点，
则，
，
，
、分别是、的中点，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，．
以，，为边能构成一个直角三角形，
或，
即或，
解得或，
点的位置如图所示．
故选：．
先利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足或，即为直角三角形，解出的长，进而得出点的位置．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．
利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】
解：观察函数图象得时，，
即时，，
所以关于的不等式的解集为．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图所示，

由图象和题意可得，
，，
，
平行四边形的面积为，
，
直线平行直线，
，
．
故选：．
根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长，然后根据平行四边形的面积求得边上的，然后解等腰直角三角形即可求得，得到的值．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】  

【解析】解：；
故答案为：；

．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质计算得出答案；
利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】能 

【解析】解：，
由于，，
在这块木板上能截出个面积为正方形木板．
故答案为：能．
根据正方形的面积可以求得两个正方形的边长均为，然后进行比较相应的边长即可．
本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：目前社团人员年龄的方差为，而年前，每个人的年龄均减小，数据的波动程度不变，
两年前该社团人员年龄的方差为．
故答案为：．
根据两年前的同一批社团人员的年龄均减小岁，其年龄的波动幅度不变知方差不变．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
解得，
图形的面积为：，
故答案为：．
根据题目中的数据和图形，可以得到，然后即可得到、、的值，然后即可计算出图形的面积．
本题考查勾股定理的证明、勾股定理，直角三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同法可证，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
当时，四边形是菱形，
与可能相等且垂直，
四边形可能是正方形，
故正确；
故答案为：．
首先利用全等三角形的证明证明，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：如图．

，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】如图：，可以得到，，可证≌，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以证得结论．
本题考查了平行四边形的判定定理，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

19.【答案】解：点在一次函数为常数，且的图象上，
，
解得：，
的值为；
列表：

描点、连线，画出函数图象．
 

【解析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
列表，描点、连线，画出函数图象．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

20.【答案】解：如下图：点即为所求；
，，，
，
，，
，
在▱中，，
，
，
．
，
，，，
≌，
，
设，
，
，即：，
解得：，
，
．
 

【解析】根据作角的平分线的基本做法作图；
先根据全等三角形的性质得出，再根据勾股定理列方程求解．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：分情况讨论：当时，设函数表达式为，
把，代入得，
，
解得
；
当时，设，
把代入得：，
，
综上所述：与的函数表达式为；
不能，理由如下：
令，
则，
该企业不能在天以内不超过最高允许的． 

【解析】段是直线，函数是一次函数；时，函数是反比例函数．反比例函数过点，该点满足反函数解析式；
求出时的值，与进行比较．
此题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
 

22.【答案】  八  八年级的平均分大于七年级  八年级的方差小于七年级的方差 

【解析】解：八年级组的频数为，
补全八年级学生成绩频数分布直方图，

七年级竞赛成绩的中位数，
故答案为：；
，
答：八年级的竞赛平均成绩为；
在此次竞赛中，我认为八年级的竞赛成绩较好，
理由：八年级的平均分大于七年级，八年级的方差小于七年级的方差答案不唯一，合理均可．
故答案为：八，八年级的平均分大于七年级，八年级的方差小于七年级的方差．
求出组的频数即可补全八年级学生成绩频数分布直方图，根据中位数的定义即可求出七年级竞赛成绩的中位数；
利用加权平均数公式计算即可；
从平均数和方差等方面比较得出答案答案不唯一，合理均可．
本题考查频数分布直方图、频数率分布表、加权平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：为菱形，
，相互垂直，且两线段中点为同一点，
，
平行于轴，
平行于轴，
，
解得：；
由得，，
，，，，
，
设直线：，代入得：
，
 解得直线，
与轴交点，
由勾股定理得：，
即，
当时，有最小值，
此时，． 

【解析】根据菱形两对角线互相垂直且平分，即中点为同一点，可以推得，之间的关系表达式；
由得到菱形各点坐标用含的式子表示，然后求出直线的解析式以及与轴的交点，利用勾股定理得到的长度表达式，求出最小值，进一步得到，的坐标．
本题主要考查菱形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：，
，
又正方形，
，
，
又，
，
，
；
解：过作，交于，交于，

当在上，
，由得，
，又，，
，，，则，
又矩形，
，
≌，
，，
在中，，
，
当在上，
，，
则，，
，
，，
，
≌，
，
同上可知，
，
．
解：连接，作，交于，当点在点时，点与点重合，
过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接，
由正方形的性质可得，，则，，，为等腰直角三角形，
，，
，则，
，
≌，
，
又为等腰直角三角形，
，，，
则，，
，
≌，
，，
，
四边形是矩形，则，

当点从点运动到点时，点从点运动到点，
当点在点时，，
此时点与点重合，，．
故答案为：．
根据正方形的性质及互余的关系即可证明结论；
过作，分两种情况：当在上，当在上，利用正方形的性质，证明≌，由线段的和差关系可求解；
连接，作，交于，当点在点时，点与点重合，过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接，由正方形的性质可得，，则，，，为等腰直角三角形，证明≌，≌，得四边形是矩形，则，可知当点从点运动到点时，点从点运动到点，当点在点时，，此时点与点重合，．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】或 

【解析】解：当时，，
解得；
当时，，
解得；
故答案为：或；
点坐标是，
，
四边形是平行四边形，，，
与间距离为，
，
，
，
，
，
，
由可得，，
一次函数的解析式为；
，
一次函数经过点，
点在平行四边形的内部，
一次函数与平行四边形始终有两个交点，
一次函数与平行四边形不存在交点，
由定义可知，一次函数经过点，
当经过点时，，
解得，
时，一次函数与平行四边形没有交点；
当经过点时，，
时，一次函数与平行四边形没有交点；
综上所述：或时，一次函数的衍生函数图象与▱恰好有两个交点．
根据定义求解即可；
根据三角形面积公式和平行四边形的性质，可求，从而得到点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可；
由题意可知一次函数经过点，而点在平行四边形的内部，则一次函数与平行四边形始终有两个交点，从而得到一次函数与平行四边形不存在交点，再由定义可知，一次函数经过点，分别求出当经过点、点时的值，即可确定的临界值，从而求出符合条件的的范围即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，弄清衍生函数的定义是解题的关键．