2023-2024学年福建省厦门市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 7C. 8D. 4
2.已知y是x的函数，其图象经过点(0,1)，则该函数的解析式可以是( )
A. y=xB. y=x+1C. y=−xD. y=x−1
3.下列计算正确的是( )
A. 4 3− 3=4B. 4 3÷ 3=4C. 3+ 2= 5D. 3× 2=6
4.依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
5.某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数(单位：次).将所得数据统计如表所示(每组只含最低值，不含最高值).该样本的中位数落在( )
A. 第二组B. 第三组C. 第四组D. 第五组
6.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. x2+82=(x+3)2B. (x+3)2+82=x2
C. x2+82=(x−3)2D. (x−3)2+82=x2
7.某篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)是：168，184，187，188，197.现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
8.如图，在矩形ABCO中，点B的坐标是(1,3)，则AC的长为( )
A. 3
B. 5
C. 3
D. 10
9.在A、B两地之间有汽车站C(A、B、C三地在同一直线上)，甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.下列说法错误的是( )
A. 两车经过4.5小时后相遇
B. 甲车的速度是60千米/小时
C. 乙车11小时后到达终点
D. 乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点
10.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(b2+1,y3)，若(x1−x2)(y1−y2)<0，则下列一定正确的是( )
A. y1>y2B. y1bD. y3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
12.学校举办“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占40%，现场演讲分占60%，小明参加了比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为______分.
13.如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为______.
14.如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E是CD中点，若AB=10，则OE=______.
15.已知直线l：y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向______(填“左”或“右”)平移______个单位后过点(1,7).
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(3,0)，点B是函数y=−12x+2(0①四边形ABCD是平行四边形；
②四边形ABCD不可能是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形.
所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：(1) 27− 2× 6+3 13；
(2)( 5+ 2)( 5− 2)+( 3−1)2.
18.(本小题8分)
在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−aa+2)÷a2−2aa2−4，其中a= 2.
20.(本小题8分)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,6)和点B(0,4)，O为坐标原点.
(1)求该一次函数的表达式，并画出图象；
(2)点(−1, 5)在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由.
21.(本小题7分)
李明为了解某品牌新能源乘用车的需求情况，从该品牌乘用车某4S店收集到以下信息：
材料一：
材料二：
该品牌某4s店2024年6月各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表：
(1)该品牌某4s店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？
(2)该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，请你运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.
(1)作出线段BC的中点F(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接DF，CD.若AB=10，BC=13，CD=12，求证：四边形DECF是菱形.
23.(本小题11分)
某早餐店售有鸡排三明治、猪排三明治和饮料，其中饮料单价为5元/杯.为回馈广大消费者，商家决定推出套餐：任意一款三明治和一杯饮料，只需10元.
(1)请根据信息分别求出鸡排三明治和猪排三明治的单价；
(2)小孟计划购买50个三明治和30杯饮料，其中鸡排三明治的数量不少于猪排三明治的数量且不多于猪排三明治数量的两倍.到店后，店员告知小孟为了促进三明治单品的销售量，现早餐店推出新活动：单独购买猪排三明治，单价降价a元(224.(本小题12分)
定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线.例如：如图1，在凸四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为对等四边形，AC为四边形ABCD的对等对角线.
(1)[概念理解]下列图形中，属于对等四边形的是______.
A.有一对邻边相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.有一对邻角相等的四边形
D.平行四边形
(2)[探究升级]请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明；
(3)[综合应用]如图2，在平面直角坐标系xOy中A(4,0)，B(0,−4)，若平面内存在一动点C，使得四边形OBAC为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.
25.(本小题13分)
在正方形ABCD中，E为AB边上异于点A，B的一个动点，连接CE，点B关于CE的对称点为点F，BF与CE交于点M，延长CF，BF分别交直线AD于点G，H.
(1)如图1，当点G在边AD上时，将点A关于EG对称，其对称点恰好与点F重合，AF交EG于点N.
①求证：四边形EMFN为矩形；
②连接AF并延长交CD于点K，若S△BEF=3，S△CKF=5，求正方形ABCD的面积；
(2)如图2，若正方形ABCD的边长为9，随着BE长度的变化，探究点G的位置.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A. 12= 22，因此选项A不符合题意；
B. 7是最简二次根式，因此选项B符合题意；
C. 8=2 2，因此选项C不符合题意；
D. 4=2，因此选项D不符合题意；
故选：B.
根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是正确解答的前提．
2.【答案】B
【解析】解：A.当x=0时，y=1×0=0，0≠1，
∴一次函数y=x的图象不经过点(0,1)，选项A不符合题意；
B.当x=0时，y=0+1=1，1=1，
∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)，选项B符合题意；
C.当x=0时，y=−1×0=0，0≠1，
∴一次函数y=−x的图象不经过点(0,1)，选项C不符合题意；
D.当x=0时，y=1×0−1=−1，−1≠1，
∴一次函数y=x−1的图象不经过点(0,1)，选项D不符合题意．
故选：B.
将x=0分别代入各选项的函数解析式中，求出y值，将其与1比较后，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：4 3− 3=3 3，故A错误，不符合题意；
4 3÷ 3=4，故B正确，符合题意；
3与 2不是同类二次根式，不能合并，故C错误，不符合题意；
3× 2= 6，故D错误，不符合题意；
故选：B.
根据二次根式的相关运算法则逐项法则．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
4.【答案】C
【解析】解：A.只有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，而图中的两组对角不相等，
所以图中的四边形不一定是平行四边形，
故A不符合题意；
B.一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
C.一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，
故C符合题意；
D.一组对边平行而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故D不符合题意．
故选：C.
根据平行四边形的判定定理判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：4+14+17+10+5=50，
第25和26个数据在第三组，
故中位数在第三组，
故选：B.
根据表格中的数据，可以计算出抽取的学生人数，然后即可得到中位数落在哪一组．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义．
6.【答案】D
【解析】解：设AC=x尺，则AB=(x−3)尺，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
即(x−3)2+82=x2，
故选：D.
设AC=x尺，则AB=(x−3)尺，由勾股定理得出方程(x−3)2+82=x2.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：用一名身高178cm的队员换下场上身高197cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变，
所以他们的平均数变小，
由于数据的波动性变小，
所以数据的方差变小．
故选：A.
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．
8.【答案】D
【解析】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是(1,3)，
∴OM=1，BM=3，由勾股定理得：OB= 12+32= 10，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC= 10，
故选：D.
根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、B两地相距=360+80=440(千米)，
设t小时相遇，则有：(60+40)t=440，
∴t=4.4(小时)，
∴两车行驶4.4小时后相遇，
故A说法错误，符合题意；
甲车的平均速度=36060=60(千米/小时)，
故B说法正确，不符合题意；
乙车的平均速度=802=40(千米/小时)，
∵440÷40=11(小时)，
∴乙车行驶11小时后到达A地，
故C说法正确，不符合题意；
乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点，
故D正确，不符合题意．
故选：A.
利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可．
本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
10.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(b2+1,y3)，若(x1−x2)(y1−y2)<0，
∴y随x的增大而减小，
∵x=0时，y=b，且b2+1>0，
∴y3故选：D.
由(x1−x2)(y1−y2)<0可知y随x的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到y3本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，明确一次函数y=kx+by随x的增大而减小是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题可知，
x−2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2.
根据二次根式有意义的条件(二次根式里的被开方数不小于0)进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12.【答案】84
【解析】解：小明的最终成绩为90×40%+80×60%=36+48=84(分)，
故答案为：84.
综合荣誉和现场演讲的成绩分别乘以权重，再相加即可．
本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=10.
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=BC−DE=10−4=6，
故答案是：6.
由平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC=10，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=AE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出AB=AE的长是本题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵菱形ABCD中，对角线相交于点O，
∴点O是AC的中点，AB=AD=10，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE=12AD=5.
故答案为：5.
由菱形的性质可知点O是AC的中点，AB=AD=10，进而可知OE是△ADC的中位线，即可求解．
此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，正确得出OE是△ADC的中位线是解题关键．
15.【答案】左 4
【解析】解：直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，
直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，
将点(3,7)代入y=kx+b+5，将点(7,7)代入y=kx+b−5，
得3k+b+5=77k+b−5=7，
解得：k=52，b=−112，
直线l为：y=52x−112，
设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，
∵过点(1,7)，
∴7=52+52m−112，
解得m=4，
∴直线l向左平移4个单位后过点(1,7)，
故答案为：左，4.
直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，根据题意得到关于k、b的方程组，解方程组求得直线l的解析式为：y=52x−112，设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，代入点(1,7)，求得m的值，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与几何变换的知识，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得直线l的解析式是解此题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：①∵BC⊥y轴，点A，D在x轴上，
∵BC//BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故结论①正确：
②过点B作BE⊥x轴于E，如图1所示：
∵点B是函数y=−12x+2(0∴设点B(m,−12m+2)(0∴OE=m，BE=−12m+2，
∵点A(3,0)，
∴AE=|3−m|，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2=(−13m+2)2+(3−m)2，
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为−12m+2，
∵点C在函数y=45x+4的图象上，
∴−12m+2=45x+4，
解得：x=−5m+208，
∴点C(−5m+208,−12m+2)，
∴BC=m−(−5m+208)13m+208，
假设四边形ABCD是菱形，则AB=BC，
∴(−12m+2)2+(3−m)2=(13m+208)2，
整理得：89m2+1032m−432=0，
即(m+12)(89m−36)=0，
∴m1=12，不合题意，舍去，m2=3689，
∴存在BC=AB的情况，
即四边形ABCD可能是菱形，
故结论②正确；
③∵点B是函数y=−12x+2(0∴存在点B的横坐标为3的情况，如图②所示：
此时AB⊥AD，则四边形ABCD是矩形，
故结论③正确；
④当点B的横坐标为3时，则y=−12×3+2=12，此时四边形ABCD是矩形
∴点B(3,12)，则AB=12，
由②得：BC=13×3+208=598，
∴BC>AB，
∴四边形ABCD不可能是正方形，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
①根据BC⊥y轴，点A，D在x轴上得BC//BC，再根据AD=BC可对结论①进行判断：
②过点B作BE⊥x轴于E，设点B(m,−12m+2)(0③由点B是函数y=−12x+2(0④当点B的横坐标为3时，则点B(3,12)，则AB=12，由②得BC=13×3+208=598，则BC>AB，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的图象上的点的坐标，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，理解一次函数的图象上的点的坐标，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 3−2 3+ 3
=2 3.
(2)原式=5−2+3−2 3+1
=7−2 3.
【解析】(1)根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
(2)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C.
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEA=∠BFC
在△DEA和△BFC中
∠A=∠C∠DEA=∠CFBAD=BC，
∴△DEA≌△BFC
∴AE=CF
【解析】要证明AE=CF，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．即证明△DEA≌△BFC.
本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质．解决本题即可证明△DEA≌△BFC，亦可证明四边形DFBE是矩形，通过AB−BE=CD−DF得结论．
19.【答案】解：(1−aa+2)÷a2−2aa2−4
=a+2−aa+2÷a(a−2)(a+2)(a−2)
=2a+2⋅a+2a
=2a；
当a= 2时，
原式=2 2= 2.
【解析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把a= 2代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分母有理化是关键．
20.【答案】解：(1)将点A(1,6)和点B(0,4)代入y=kx+b，
6=k+b4=b，
解得：k=2b=4，
所以该一次函数的表达式为y=2x+4.
(2)点(−1, 5)在该函数图象的上方，理由如下：
当x=−1时，y=−2+4=2< 5，
所以点(−1, 5)在该函数图象的上方．
【解析】(1)将点A(1,6)和点B(0,4)代入y=kx+b中，即可得出答案；
(2)将x=−1代入函数解析式，再判断，即可得出答案．
本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)x−=8×4+10×8+15×24+20×20+30×3+58×14+8+24+20+3+1=17(万元)，
答：该品牌某4s店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是17万元；
(2)从材料一数据可知，2024年6月销售数据中，销售量最大的车型为紧凑型车；从材料一来看增长率最高的是紧凑型车，所以建议多生产紧凑型车．
【解析】(1)根据加权平均数公式即可求出答案；
(2)根据数据即可给出合理建议．
本题考查了加权平均数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想方法解答．
22.【答案】(1)解：图形如图所示；
(2)证明：∵D是AB的中点，
∴AD=DB=12AB=5，
∵BC=13，CD=12，
∴BC2=BD2+CD2，
∴∠BDC=90∘，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CA=CB，
∵AE=EC，BF=CF，AD=DB，
∴DE=12BC，DF=12AC，
∴DE=DF=CF=CE，
∴四边形DECF是菱形．
【解析】(1)作线段BC的垂直平分线垂足为F，点F即为所求；
(2)根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)设猪排三明治的单价为x元，鸡排三明治的单价为y元，
x+y+6=10×210+y=16，
解得：x=8y=6，
答：猪排三明治的单价为8元，鸡排三明治的单价为6元；
(2)设购买猪排三明治m个，则购买鸡排三明治(50−m)个，
∴50−m≥m50−m≤2m，
解得：1623≤m≤25.
设总花费为w元，
∵单独购买猪排三明治，单价降价a元(2∴单独购买猪排三明治，单价为(8−a)元，
∵2∴8−a<6，
∴要使花费最少，则必须要单独购买猪排三明治，
设单独购买猪排三明治n个，则单独购买鸡排三明治(20−n)个，且1623≤n≤20.
∴w=30×10+(8−a)n+6×(20−n)=(2−a)n+420，
∵2−a<0，
∴当n=20时，w有最小值，
∴方案为：买30个套餐(套餐中25个鸡排，5个猪排)和单独购买猪排三明治20个．
【解析】(1)设猪排三明治和鸡排三明治的单价分别为x元，y元，根据一个鸡排三明治和一个猪排三明治的价钱+6=20和一个鸡排三明治的价钱+10=16列出方程组，求解即可；
(2)由题意可得要使花费最少，则必须要单独购买猪排三明治，设单独购买猪排三明治n个，则单独购买鸡排三明治(20−n)个，求出总花费，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】D
【解析】解：(1)根据对等四边形的定义可得：平行四边形是对等四边形；其余选项的四边形都不是对等四边形；
故答案为：D；
(2)在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；已知四边形ABCD是对等四边形，对等对角线为AC，S△ABC=S△ADC；求证：BO=DO；
证明：如图1，过D作DF⊥AC于F，过B作BE⊥AC于E，
∴∠DFO=∠BEO=90∘，
∵S△ABC=S△ADC，
∴12AC⋅DF=12AC⋅BE，
∴DF=BE，
∵∠DOF=∠BOE，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，
∴OD=OB；
(3)如图2，当对角线OA为对等对角线时，
∵A(4,0)，B(0,−4)，S△AOB=S△AOC，
∴C在直线y=4上，
设直线AB为y=kx−4，
∴4k−4=0，
解得：k=1，
∴直线AB为：y=x−4，
当y=4时，x−4=4，
解得：x=8，
∴此时C的横坐标范围为0如图3，当AC为对等对角线时，由(2)可得，BC平分OA，
∴BC过AO的中点M(2,0)，
同理可得：直线BC解析式为：y=2x−4，
∴C的轨迹是射线y=2x−4(x>2)，
综上，C的轨迹是线段y=4(02).
(1)根据对等四边形的定义结合平行四边形的性质可得结论；
(2)先写出性质：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；再画图，结合定义与全等三角形的判定与性质可得结论；
(3)分两种情况讨论：如图，当对角线OA为对等对角线时，如图，当AC为对等对角线时，再结合对等四边形的性质可得答案．
本题考查的是新定义的含义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，点的轨迹问题，难度较大，理解新定义是含义是解答本题的关键．
25.【答案】(1)①证明：如图，
∵点B关于CE的对称点为点F，
∴CE是线段BF的垂直平分线，
∵将点A关于EG对称，其对称点恰好与点F重合，
∴EG是线段AF的垂直平分线，
∴EN⊥AF，∠AEG=∠FEG，EM⊥BF，∠BEC=∠FEC，
∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=180∘，
∴∠AEG+∠FEG+∠BEC+∠FEC=180∘，
∴∠GEC=∠FEG+∠FEC=90∘，
∵∠GEC=∠ENF=∠EMF=90∘，
∴四边形EMFN是矩形；
②解：如图，过点F作PQ//AD，分别交正方形ABCD的边AB、CD于P、Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AD//BC，∠BAD=∠CDA=90∘，
∴PQ⊥AB，PQ⊥CD，
由对称的性质可知：EA=EF，EB=EF，
∴EA=EB，
∵△EAF和△EBF等高，
∴S△BEF=S△AEF=3，
由①知：四边形EMFN是矩形，
∴AK//CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴四边形AECK是平行四边形，
∴AE=CK，
∴S△AEF+S△CKF=12AE⋅FP+12CK⋅FQ=12AE⋅PQ=8，
∴正方形ABCD的面积=AB⋅PQ=2AE⋅PQ=32；
(2)解：当点G和点A重合时，如图，
由对称得：BE=EF，∠AFE=180∘−∠EFC=90∘，∠EAF=∠AEF=45∘，
∴EF=AF=BE，
∴AE= 2EF= 2BE，
∵AE+BE=9，
∴ 2BE+BE=9，
∴BE=9( 2−1)；
当9( 2−1)设BE=x，AG=a，则DG=9−a，
由对称得：BE=EF=x，∠EFC=∠EBC=90∘，CF=CB=9，
在Rt△CDG中，CG= CD2+DG2= 92+(9−a)2，
∴GF=CG−CF= 92+(9−a)2−9，
在Rt△EFG中，EG2=EF2+GF2=x2+[ 92+(9−a)2−9]2，
在Rt△EAG中，EG2=AE2+AG2=(9−x)2+a2，
∴x2+[ 92+(9−a)2−9]2=(9−x)2+a2，
整理得：a=x2+18x−812x，
∴AG=BE2+18BE−812BE(9 2−9当0由对称的性质可知BE=EF=x，∠EFC=∠EBC=90∘，CF=CB=9，
在Rt△CDG中，CG= CD2+DG2= 92+(9+a)2，
∴GF=CG−CF= 92+(9+a)2−9，
在Rt△EFG中，EG2=EF2+GF2=x2+[ 92+(9+a)2−9]2，
在Rt△EAG中，EG2=AE2+AG2=(9−x)2+a2，
∴x2+[ 92+(9+a)2−9]2=(9−x)2+a2，
整理得：a=−x2−18x+812x，
∴AG=−BE2−18BE+812BE(0综上所述，AG=−BE2−18BE+812BE(0【解析】(1)①由对称可得：CE是线段BF的垂直平分线，EG是线段AF的垂直平分线，推出∠GEC=∠ENF=∠EMF=90∘，即可证得结论；
②过点F作PQ//AD，分别交正方形ABCD的边AB、CD于P、Q，由对称的性质可得EA=EF=EB，得出S△BEF=S△AEF=3，再由平行四边形的判定和性质可得AE=CK，得出S△AEF+S△CKF=12AE⋅PQ=8，即可求得答案；
(2)当点G和点A重合时，求得BE=9( 2−1)；当9( 2−1)本题是四边形综合题，考查了正方形性质，轴对称变换的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，熟练掌握正方形性质、勾股定理等是解题关键．组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70∼90
90∼110
110∼130
130∼150
150∼170
人数
4
14
17
10
5
乘用车级别
微型
小型
紧凑型
中型
大型
超大型
平均单价/万元
8
10
15
20
30
58