福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
B中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
C中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
D中，能构成直角三角形，故符合要求；
故选：D．
2. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、与不能进行合并，故不符合题意；
B、，则能与进行合并，故符合题意；
C、，则不能与进行合并，故不符合题意；
D、，则不能与进行合并，故不符合题意；
故选：B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故符合要求．
故选：D．
4. 如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理得，，
，
，
，
表示应为线段．
故选：B．
5. 在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，已知则的长为（ ）．
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
故选：A．
7. 小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽搁了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离S（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为（ ）
A. 米 B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】由图象可知，从图书馆到家距离为米，从图书馆到家骑行时间为（分钟），从文具店到家的骑行时间为（分钟），
∴骑行的速度为（米/分钟），
∴文具店与小张家的距离为（米），
故选：B．
8. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】如图，连接．
∵，F是的中点，
∴．
在中，
∵，E是的中点，，
∴．
故选：D．
9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．
∴一个小三角形的面积是，三角形的斜边为．
，
，
故选：C．
10. 如图，在正方形OABC中，OA＝6，点E、F分别在边BC，BA上，OE＝，若
∠EOF＝45°，则点F的纵坐标为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】延长BA到点M，使AM=CE，连接OM，如图所示：
∵四边形OABC是正方形，OA＝6，
∴，
∴△OCE≌△OAM，
∴OE=OM，∠COE=∠AOM，
∵∠EOF＝45°，
∴，
∴，
∴∠EOF=∠MOF，
∵OF=OF，OE=OM，
∴△EOF≌△MOF（SAS），
∴，
∵OE＝，
∴在Rt△OEC中，，
设AF=x，则EF=3+x，BE=3，BF=6-x，
∴在Rt△EBF中，，
∴，
解得：，
∴点F的纵坐标为2；
故选：A．
二、填空题
11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________．
【答案】x≥2
【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，∴2x-4≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
12. 已知正比例函数，当时，函数值_____________．
【答案】
【解析】当时，函数值．
故答案为：．
13. 如图，在平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是，的中点，若，则的长是__________．
【答案】8
【解析】∵点E，F分别是，的中点，
∴．
平行四边形中，，
∴．
故答案为：8．
14. 命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）
【答案】①如果a2=b2，那么a=b；②假
【解析】根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，
故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．
故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．
15. 如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为___________．
【答案】
【解析】如图，过点作于F，过点A作于M，
四边形为正方形，
∴，，
∴，
由，
，，
在和中，，
，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，解得：，
，
则，
故答案为：．
16. 如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，，在运动过程中，点D到点O的最大距离是_____________．
【答案】
【解析】如图，取的中点E，连接、、，
∵，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系，，
∴当过点E时，等号成立，的值最大，最大值为．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F．
求证：四边形矩形．
证明：∵平分，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 先化简再求值：，其中．
解：
，
当时，
原式．
20. 如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）．
解：由题意知，，，即，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴ 树折断处与地面的距离（即的长）为．
21. 如图，在中，作的平分线交于点E，以A为圆心，长为半径画弧交于F．
（1）请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，求出线段的长度．
解：（1）如图，作图如下：
（2）如图，连接，记与的交点为，
由作图可得：，，∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
22. 如图所示，在中，点分别为的中点，点F在线段上，连接，点分别为的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的度数．
（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
23. 材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化有理数运算．
由，平方得，整理可得：，即．
所以．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，则_____________，_____________；
（2）若，求的值；
（3）已知，求的值．
解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：2；2．
（2），
，，，
，
，
．
（3），
，
，
，
，
，
．
24. 如图，在正方形中，点E在对角线上，连接，点F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）用等式表示线段的数量关系并证明．
（1）证明：如图，连接，
∵正方形轴对称图形，直线是对称轴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
如图，连接交于，过作于，交于，
则四边形为矩形，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
25. 在菱形中，．
（1）如图1，点E为线段的中点，连接，若，求线段的长；
（2）如图2，P为对角线上一点，连接，点F在上，连接与交于点T，若，求的度数；
（3）如图3，M为对角线上一点（M不与重合），以为边，构造如图所示等边，线段与交于点G，连接为线段的中点，连接，请说明．
（1）解：连接，如图：
则平分，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：．
（2）解：四边形是菱形，
，
，是等边三角形，
，，
在和中，，
，
，
．
（3）证明：延长至，使得，连接，如图：
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是中点，是的中点，
是的中位线，
，．