2023-2024学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是最简二次根式的是( )
A. 6B. 4C. 47D. 24
2.下列各点中，不在直线y=2x+1上的是( )
A. (1,3)B. (0,1)C. (2,4)D. (−1,−1)
3.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠A的度数是( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
4.一组数据3，5，1，4，5的中位数是( )
A. 1B. 3C. 4D. 5
5.抛物线y=(x+1)2−4的开口方向、顶点坐标分别是( )
A. 开口向上，顶点坐标为(−1,−4)B. 开口向下，顶点坐标为(1,4)
C. 开口向上，顶点坐标为(1,4)D. 开口向下，顶点坐标为(−1,−4)
6.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. a<1B. a≤1C. a≠0D. a<1且a≠0
7.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+b与一次函数y=ax+b(a≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，购买一种水果，所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则购买5千克该种水果所付金额为( )
A. 50元
B. 46元
C. 38元
D. 30元
9.不论m取何值，如果点P(2m,m+1)都在某一条直线上，则这条直线的解析式是( )
A. y=2x−1B. y=2x+1
C. y=12x−1D. y=12x+1
10.在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=4，∠BAC=30∘，点E、F分别在AC、AB上，则EF+EB的最小值是( )
A. 2B. 4C. 2 3D. 83 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在函数y=1x−3中，自变量x的取值范围是______.
12.已知x=1是方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值是______.
13.某组数据的方差计算公式为s2=14[(x1−7)2+(x2−7)2+(x3−7)2+(x4−7)2]，则这组数据的平均数是______.
14.二次函数y=(x−2)2−1图象与y轴交点坐标为______.
15.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么(a+b)2的值为______.
16.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF.若∠AOE=150∘，DF= 3，则EF的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解方程：x2−4x−5=0；
(2)计算：( 2+3)( 2−5).
18.(本小题7分)
已知：如图，点E，F是▱ABCD中AB，DC边上的点，且AE=CF，联结DE，BF.求证：DE=BF.
19.(本小题7分)
如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米.若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长.
20.(本小题9分)
如图，矩形ABCD.
(1)尺规作图：作∠BAD的角平分线AE，交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接DE，若AD=3，AB=2，写出DE长为______.
21.(本小题9分)
已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、−1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点.
(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图象；
(2)若P(m,y1)，Q(m+1,y2)两点都在二次函数y=x2的图象上，试比较y1与y2的大小.
22.(本小题10分)
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______，七年级活动成绩的众数为______分；
(2)a=______，b=______；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由.
23.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
24.(本小题12分)
定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们把这样的两个函数称作互为友好函数，例如：一次函数y=x−2，它的友好函数为y=−x+2(x<0)x−2(x≥0).
(1)直接写出一次函数y=−2x+1的友好函数.
(2)已知点A(3,11)在一次函数y=ax−1的友好函数的图象上，求a的值.
(3)已知点B(m,3)在一次函数y=2x−1的友好函数的图象上，求m的值.
25.(本小题12分)
折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法.深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养.
【操作发现】
(1)如图(1)，在矩形ABCD中，把矩形ABCD折叠，使B与A重合，C与D重合，展平纸片得到折痕EF，再第二次折叠，点B落在EF上B′点，展平纸片得到折痕AM，连接AB′，BB′，则∠B′BC等于______
A.20∘
B.30∘
C.45∘
D.60∘
【深入探究】
(2)如图(2)，P是矩形ABCD边AB上一点，把矩形折叠，使P与B重合，展平纸片得到折痕EF；第二次折叠，点B落在EF上的点B′，P落在点P′，展平纸片得到折痕MN，连接BP′，B′P′，BB′，写出∠P′BB′与∠B′BC的数量关系，并给出证明；
【拓展应用】
(3)如图(3)，正方形ABCD中，P是射线AB上一点，点P与点B是对称点，EF是对称轴.点B与点F是对称点，MN是对称轴，点P关于MN的对称点为点P′，连接BP′，FP′，BF，AB= 3+1，当∠FBC=15∘时，直接写出AP的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 6是最简二次根式，符合题意；
B、 4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 47=2 77，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 24=2 6，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的满足的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：A.当x=1时，y=2×1+1=3，
∴点(1,3)在直线y=2x+1上；
B.当x=0时，y=2×0+1=1，
∴点(0,1)在直线y=2x+1上；
C.当x=2时，y=2×2+1=5，
∴点(2,4)不在直线y=2x+1上；
D.当x=−1时，y=2×(−1)+1=−1，
∴点(−1,−1)在直线y=2x+1上．
故选：C.
分别代入x=1，x=0，x=2及x=−1求出y值，再对照四个选项中点的纵坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=180∘÷3=60∘，
故选：B.
利用平行四边形的邻角互补即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：把数据3，5，1，4，5从小到大排列得1，3，4，5，5，
∴数据3，5，1，4，5的中位数是4.
故选：C.
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
5.【答案】A
【解析】解：∵y=(x+1)2−4，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标是(−1,4)，
故选：A.
根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式得到a≠0且Δ=22−4a>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得a≠0且Δ=22−4a>0，
所以a<1且a≠0.
故选D.
7.【答案】D
【解析】解：当x=0时，二次函数y=ax2+b与一次函数y=ax+b(a≠0)均有y=b，
可知函数均过(0,b)，故B、C错误；
对于A、D：
A、二次函数y=ax2+b开口向上，a>0，而一次函数过二、一、四象限，则a<0，得出矛盾，故本选项错误；
D、二次函数y=ax2+b开口向上，a<0，而一次函数过二、三、四象限，则a<0，且二者均过(0,b)点，故本选项正确．
故选：D.
由于二次函数y=ax2+b与一次函数y=ax+b(a≠0)均过(0,b)，可知正确答案从A、D中选，再根据二次函数的性质判断出a、b的值，然后根据a、b的值确定一次函数所过象限，从而选出正确答案．
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，要熟悉两函数的性质方可正确解答．
8.【答案】C
【解析】解：设AB的解析式为y=kx+b，将(2,20)，(3,26)代入，
得2k+b=203k+b=26，
解得：k=6b=8，
∴AB段的解析式为y=6x+8，
当x=5时，y=6×5+8=38元，
故选：C.
由图象求出AB段的函数解析式，将x=5代入即可．
本题考查了一次函数中依据图象解决实际问题，属于此类型中的基础题，正确记忆相关知识点是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：当x=2m时，y=2x−1=4m−1；y=2x+1=4m+1；y=12x−1=m−1；y=12x+1=m+1，
所以点P(2m,m+1)在直线y=12x+1上．
故选：D.
分别计算自变量为2m时四个函数的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了点在函数图象上的应用，用代入法即可解决.
10.【答案】C
【解析】解：作点B关于AC的对称点G，连接BG交AC于H，
过G作GF⊥AB于F交AC于E，
则BH⊥AC，
∴此时EF+EB的值最小且EF+EB的最小值=FG，
∵∠BAC=30∘，
∴BH=12AB=2，
∴BG=2BH=4，
∵∠AFE=∠GHE=90∘，∠AEF=∠GEH，
∴∠G=∠A=30∘，
∴BF=12BG=2，
∴FG= BG2−BF2= 42−22=2 3，
∴EF+EB的最小值是2 3，
故选：C.
作点B关于AC的对称点G，连接BG交AC于H，过G作GF⊥AB于F交AC于E，则BH⊥AC，于是得到此时EF+EB的值最小且EF+EB的最小值=FG，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】解：由题意得：x−3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3.
根据分母不为0可得：x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：把x=1代入方程x2−4x+c=0得：12−4+c=0
解得：c=3.
故答案是：3.
把x=1代入方程，即可得到一个关于c的方程，求得c的值．
本题主要考查了方程的解的定义，正确求解c的值是解决本题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：由于这组数据的方差是s2=14[(x1−7)2+(x2−7)2+(x3−7)2+(x4−7)2]，
故平均数是7.
故答案为：7.
根据方差的公式可以得到平均数．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为5，则方差S2=[(x1−5)2+(x2−5)2+…+(xn−5)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】(0,3)
【解析】解：由题意，令x=0，
∴y=(0−2)2−1=3.
∴二次函数y=(x−2)2−1图象与y轴交点坐标为(0,3).
故答案为：(0,3).
依据题意，根据二次函数的图象与性质，令x=0，求出y的值，即可判断得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
15.【答案】29
【解析】解：∵大正方形的面积为16，
∴a2+b2=16，
由题意4×12ab+3=16，
2ab=13，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29，
故答案为：29.
根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
16.【答案】2 3
【解析】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90∘，∠OBC=∠OCD=45∘，OB=OC，
∵∠AOE=150∘，
∴∠BOE=60∘；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90∘，
∴∠BOE=∠COF=60∘，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD于G，如图，
∴∠OGF=∠DGF=90∘，
∵∠ODC=45∘，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF=DG= 22DF= 62，
∵∠AOE=150∘，
∴∠BOE=60∘，
∴∠DOF=30∘，
∴OF=2GF= 6，
∴EF= 2OF=2 3.
故答案为：2 3.
由题意证明△BOE≌△COF(ASA)，所以OE=OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30∘的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出△OEF是等腰直角三角形．
17.【答案】解：(1)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
x1=5，x2=−1；
(2)( 2+3)( 2−5)
=2−5 2+3 2−15
=−13−2 2.
【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
(2)利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD.
∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，即EB=DF.
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF.
【解析】首先根据平行四边形的性质证得AB=CD面积可得到DF=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形DEBF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．
本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
19.【答案】解：设AB的长为x米，则BC的长为(24−2x)米，
根据题意得：x(24−2x)=40，
整理得：x2−12x+20=0，
解得：x1=2，x2=10，
当x=2时，24−2x=24−2×2=20>15，不符合题意，舍去；
当x=10时，24−2x=24−2×10=4<15，符合题意．
答：AB的长为10米．
【解析】设AB的长为x米，则BC的长为(24−2x)米，根据围成的花圃面积为40平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙可利用的最大长度为15米，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】 5
【解析】解：(1)如图所示；线段AE即为所求；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，BC=AD=3，CD=AB=2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=2，
∴CE=BC−BE=1，
∴DE= CD2−CE2= 22+12= 5，
故答案为： 5.
(1)根据角平分线的作法作出图形即可；
(2)根据矩形的性质得到∠BAD=90∘，BC=AD=3，CD=AB=2，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DAE，根据平行线的性质得到∠DAE=∠AEB，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，等腰三角形 的判定和性质，勾股定理，正确度作出图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)当x=2时，y=x2=4，
∴A(2,4)，
当x=1时，y=x2=1，
∴B(1,1)，
设一次函数解析式为y=kx+b，
把A(2,4)，B(1,1)分别代入得2k+b=4k+b=1，
解得k=3b=−2，
∴一次函数解析式为y=3x−2，
如图，
(2)当x=m时，y1=m2，
当x=m+1时，y2=(m+1)2，
当m<−12时，y1>y2；
当m=−12时，y1=y2；
当m>−12时，y1【解析】(1)先利用二次函数解析式确定点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，最后利用描点法画出两个函数图象；
(2)通过比较P点和Q点到y轴的距离得到y1与y2的大小，从而确定m的取值范围．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
22.【答案】1 8 2 3
【解析】解：(1)根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8.
(2)∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a=5−1−2=2，
b=10−1−2−2−2=3，
故答案为：2，3.
(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50%>40%，平均成绩为：110×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3<8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
23.【答案】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，∴EM=EN，
∵EF⊥DE
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90∘，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形；
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC= 2AB= 2×2 2=4，
∴CE+CG=4是定值．
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
(1)作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF，即可证得结论；
(2)利用SAS证出△ADE≌△CDG，得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．
24.【答案】解：(1)由题意可得，y=−2x+1的友好函数为y=2x−1(x<0)−2x+1(x≥0)；
(2)∵一次函数y=ax−1的友好函数为y=−ax+1(x<0)ax−1(x≥0)，
∵3>0，
∴3a−1=11，
∴a=4；
(3)由题意可得，一次函数y=2x−1的友好函数为y=−2x+1(x<0)2x−1(x≥0)，
当m<0时，−2m+1=3，
∴m=−1，
当m≥0时，2m−1=3，
∴m=2，
∴m=−1或m=2.
【解析】(1)根据新定义直接写出函数即可；
(2)根据新定义可得一次函数y=ax−1的友好函数为y=−ax+1(x<0)ax−1(x≥0)，再把点A(3,11)求解即可；
(3)根据新定义可得一次函数y=2x−1的友好函数为y=−2x+1(x<0)2x−1(x≥0)，再根据m<0时、m≥0时分别代入求解即可．
本题考查考查一次函数图象上点的坐标特征及新定义，理解题意，通过分类讨论求解是解题的关键．
25.【答案】B
【解析】解：(1)由折叠的性质可知：AB=AB′=BB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABB′=60∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，
∴∠B′BC=90∘−60∘=30∘，
故选：B；
(2)∠P′BB′=2∠B′BC，
连接PB与BP交于点O，由轴对称可知点O在折痕MN上，MN是BB′的垂直平分线，
∴OB=OB′，
∴∠P′BB′=∠PB′B，
∵EF是PB的对称轴，
∴B′P=BB′，EF⊥BP，
∴∠1=∠2，
∴∠PB′B=2∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB⊥AB，而EF⊥AB，
∴EF//BC，
∴∠2=∠3，
∴∠PB′B=2∠3，
∴∠P′BB′=2∠B′BC；
(3)当点P在边AB上时，连接MF，如图：
由折叠知MN是BF的垂直平分线，
∴MB=ME，
∴∠1=∠2=15∘，
∴∠3=30∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC= 3+1，∠ABC=∠C=90∘，而EF//BC，
∴BE=CF，
设CF=x，则BE=x，MF=2x，由勾股定理得MC= 3x，
∴2x+ 3x= 3+1，
解得：x= 3−1，
∵EF是PB的对称轴，
∴BE=PE=x，
∴AP=AB−2x= 3+1−2( 3−1)=3− 3；
当点P在线段AB延长线上，如图：
设CF=x，同上可求x= 3−1，
∴AP=AB=2x= 3+1+2( 3−1)=3 3−1，
综上：AP=3− 3或3 3−1.
(1)由折叠知AB=AB′=BB′，继而△ABB′是等边三角形，则∠ABB′=60∘，而∠ABC=90∘，即可求解；
(2)连接PB′与BP′交于点O，由轴对称可知点O在折痕MN上，MN是BB′的垂直平分线，则OB=OB′，因此么∠P′BB′=∠PB′B，由B′P=BB′，EF⊥BP，得到∠1=∠2，故∠PB′B=2∠2再根据EF//BC即可求证；
(3)当点P在边AB上时，连接MF，由折叠知MN是BF的垂直平分线，则MB=MF，可求∠3=30∘，设CF=x，则BE=x，MF=2x，由勾股定理得MC，进而求得x，因此AP=AB−2x；当点P在线段AB延长线上，同上可求AP=AB+2x.
本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，折叠的性质，矩形，正方形的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键熟练掌握知识点，正确条件辅助线．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2