2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考1，共28页。试卷主要包含了16等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝14，E是BC边上一点，且BE＝6，连接AE．若∠CAE＝45°，则CE的长为（ ）
A．20B．29C．142D．173
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（﹣14）+7﹣（+5）＝﹣12
B．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2
C．−7÷2×(−12)=7÷2×12
D．713×(−9)+(−3)×(−713)−713×2=713×(−9−3+2)
3．（3分）某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，男女生植树数量的总数是56棵，则男生植树（ ）
A．14棵B．16棵C．28棵D．40棵
4．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2021的值为（ ）
A．﹣1010B．﹣1011C．﹣2020D．﹣2021
5．（3分）如图，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（3分）如图是某校初中部各年级人数占初中总人数的百分比的统计图．已知八年级有学生906人，那么七年级的学生数是（ ）
A．3020B．906C．1208D．不能确定
7．（3分）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好．并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书．根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读
B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画
D．小康在甲校读书，爱好阅读
8．（3分）如果盈利20元记作+20元，那么亏本15元记作（ ）元．
A．+5B．﹣5C．+15D．﹣15
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）16：20=( )5=36÷ ＝ ．（填小数）．
10．（3分）已知甲、乙、丙三地在同一条直线上，某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h，已知甲地与丙地间的距离为2km，则甲乙两地间的距离为 km．
11．（3分）不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
12．（3分）如图，将A、B两地之间的原来道路（虚线）改成笔直的道路，车辆以原来速度行驶A、B两地可节省时间，这里蕴含的数学道理是 ．
13．（3分）方程3x﹣2＝7的解是x＝ ．
14．（3分）小王从某职业学校毕业后在某公司工作，第一年的年薪是8万元，以后十年中，每年的年薪增长率为10%，则小王工作第六年的年薪是 万元．（精确到0.1万元）
15．（3分）已知a、b、c都是质数，且a+b＝c，那么a×b×c的最小值是 ．
16．（3分）计算：
（1）（23xy2﹣x3y2）÷（﹣2xy2）＝ ；
（2）（5a3b2+10a2b3）÷ ＝a+2b．
三．解答题（共8小题）
17．计算：678+(4.125−123)．
18．计算：﹣32+（−15）×（﹣15）÷（﹣3）．
19．计算：2023×2024−12023+2022×2024．
20．计算：
14+(−23)+45+(−14)+(−13)．
21．计算：（﹣13）+（+20）﹣（﹣7）+（﹣16）．
22．计算：−12022+(34−13−12)×(−12)．
23．求x的值，0.5：x=72：4
24．解下列方程
①3＝1﹣2（4+x） ②x+1﹣2（x﹣1）＝1﹣3x
四．解答题（共5小题）
25．已知圆的半径为18cm，扇形的圆心角为135°．求扇形的面积．
26．我们知道a÷b=ab，b÷a=ba，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．试利用这种思想方法计算：（−142）÷（13−521+314−27）．
27．如图，三角形ABC的面积为20cm2，已知AD＝3AB，AE＝3AC，求三角形ADE的面积．（要求：能比较清晰地表达出自己的思考过程．）
28．甲乙两人在同一条椭圆形跑道上作特殊的跑步训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈的速度比第一圈提高了15．已知甲乙两人第二次相遇点距第一次相遇点285米，问这条与椭圆形跑道长多少米？
29．如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，它的面积为（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.请解答下列问题：
（1）根据图②，写出一个代数恒等式： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；
（3）小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ．
2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝14，E是BC边上一点，且BE＝6，连接AE．若∠CAE＝45°，则CE的长为（ ）
A．20B．29C．142D．173
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】作CF⊥AE交AE的延长线于点F，则CF＝AF，因为∠B＝90°，AB＝14，BE＝6，所以AE=AB2+BE2=258，则FE＝CF﹣258，再证明△CEF∽△AEB，得CEAE=CFAB=FEBE，所以CF14=CF−2586，求得CF=7582，则CE=AE⋅CFAB=29，于是得到问题的答案．
【解答】解：作CF⊥AE交AE的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵∠CAE＝45°，
∴CFAF=tan45°＝1，
∴CF＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝14，BE＝6，
∴AE=AB2+BE2=142+62=258，
∴FE＝AF﹣AE＝CF﹣258，
∵∠F＝∠B，∠CEF＝∠AEB，
∴△CEF∽△AEB，
∴CEAE=CFAB=FEBE，
∴CF14=CF−2586，
∴CF=7582，
∴CE=AE⋅CFAB=258×758214=29，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（﹣14）+7﹣（+5）＝﹣12
B．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2
C．−7÷2×(−12)=7÷2×12
D．713×(−9)+(−3)×(−713)−713×2=713×(−9−3+2)
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据有理数混合运算法则逐项分析判断即可．
【解答】解：根据有理数混合运算法则逐项分析判断如下：
A．（﹣14）+7﹣（+5）＝﹣7﹣5＝﹣12，计算正确，选项不符合题意；
B．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2，计算正确，选项不符合题意；
C．−7÷2×(−12)=7÷2×12，计算正确，选项不符合题意；
D．713×(−9)+(−3)×(−713)−713×2=713×(−9+3−2)，计算错误，选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
3．（3分）某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，男女生植树数量的总数是56棵，则男生植树（ ）
A．14棵B．16棵C．28棵D．40棵
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设女生植树的数量为x棵，根据男女生植树数量的总数是56棵列方程求解即可．
【解答】解：设女生植树的数量为x棵，则男生植树的数量为（2x+8）棵，
根据题意列方程得，x+2x+8＝56，
解得x＝16，
2x+8＝40（棵），
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
4．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2021的值为（ ）
A．﹣1010B．﹣1011C．﹣2020D．﹣2021
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】分别求得a1，a2，a3，a4，…，可找到规律“当n是奇数时，an=−n−12；n是偶数时，an=−n2”，据此即可求解．
【解答】解：∵a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，
…
所以，当n是奇数时，an=−n−12，n是偶数时，an=−n2，
∴a2021=−2021−12=−1010．
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
5．（3分）如图，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】展开图折叠成几何体．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】A
【分析】根据正方体的展开图即可解答．
【解答】解：由正方体的展开图可知，裁掉乙或丙或丁原图都可以折叠成正方形，
故裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是甲．
故选：A．
【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
6．（3分）如图是某校初中部各年级人数占初中总人数的百分比的统计图．已知八年级有学生906人，那么七年级的学生数是（ ）
A．3020B．906C．1208D．不能确定
【考点】条形统计图．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】C
【分析】已知八年级学生人数和其占总人数的百分比，用除法可以求出总人数；已知七年级占总人数的百分比，用其乘以总人数就可以得到七年级的人数了．
【解答】解：906÷30%＝3020（人），
3020×40%＝1208（人）．
故选：C．
【点评】本题主要考查条形统计图，读懂统计图上的数据代表的意义，利用获取的数据解决问题是解题的关键．
7．（3分）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好．并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书．根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读
B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画
D．小康在甲校读书，爱好阅读
【考点】容斥原理．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意分析出三人所在的学校以及三人的不同爱好，判断即可．
【解答】解：∵①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，
∴小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书．
∵在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，
∴小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，
∴小康在甲校读书，爱好唱歌，小军在乙校读书，爱好绘画，小龙在丙校读书，爱好阅读，
故选：C．
【点评】本题考查的是容斥原理，根据题意分析出三人所在的学校以及三人的不同爱好是解题的关键．
8．（3分）如果盈利20元记作+20元，那么亏本15元记作（ ）元．
A．+5B．﹣5C．+15D．﹣15
【考点】正数和负数．
【专题】实数；应用意识．
【答案】D
【分析】盈利记为正，则亏本记为负．
【解答】解：盈利记为正，亏本记为负，
亏本15元，记为﹣15，
故选：D．
【点评】本题考查的是正负数，解题的关键是理解正负数的意义．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）16：20=( )5=36÷ 45 ＝ 0.8 ．（填小数）．
【考点】分数的基本性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4，45，0.8．
【分析】根据比与分数的关系16：20=1620，再根据分数的基本性质，1620的分子和分母同时除以4就是1620=45，根据分数与除法的关系45=4÷5，再根据商不变的规律，被除数和除数同时乘9就是4÷5＝36÷45；用45的分子除以分母即可化为小数，即45=0.8，据此填空即可．
【解答】解：16：20=45=36÷45=0.8，
故答案为：4，45，0.8．
【点评】本题考查了分数的基本性质，关键是分数基本性质的熟练掌握．
10．（3分）已知甲、乙、丙三地在同一条直线上，某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h，已知甲地与丙地间的距离为2km，则甲乙两地间的距离为 12.5km或10 km．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】12.5km或10．
【分析】设甲乙两地间的距离为x km，分两种情况，①丙在甲地和乙地之间，②丙不在甲地和乙地之间，由路程×速度＝时间，结合共用3小时，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设甲乙两地间的距离为x km，分两种情况：
①丙在甲地和乙地之间，
由题意得：x8+2+x−28−2=3，
解得：x＝12.5．
②丙不在甲地和乙地之间，
由题意得：x8+2+x+28−2=3，
解得：x＝10．
即甲乙两地间的距离为12.5km或10km，
故答案为：12.5km或10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论．
11．（3分）不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 12 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】12．
【分析】用红球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵共10个球，红球有5个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为510=12．
故答案为：12．
【点评】此题考查概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=mn是解题的关键．
12．（3分）如图，将A、B两地之间的原来道路（虚线）改成笔直的道路，车辆以原来速度行驶A、B两地可节省时间，这里蕴含的数学道理是 两点之间线段最短 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答即可．
【解答】解：这里蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质是关键．
13．（3分）方程3x﹣2＝7的解是x＝ 3 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】移项、合并同类项、化系数为1即可求解．
【解答】解：移项：3x＝7+2；
合并同类项：3x＝9；
化系数为1：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．
14．（3分）小王从某职业学校毕业后在某公司工作，第一年的年薪是8万元，以后十年中，每年的年薪增长率为10%，则小王工作第六年的年薪是 约12.9 万元．（精确到0.1万元）
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【答案】12.9．
【分析】由百分数的实际意义，即可列式计算．
【解答】解：1+10%＝1.1，
8×（1.1）5≈12.9（万元），
∴小王工作第六年的年薪约是12.9万元．
故答案为：12.9．
【点评】本题考查百分数的应用，关键是掌握百分数的意义．
15．（3分）已知a、b、c都是质数，且a+b＝c，那么a×b×c的最小值是 30 ．
【考点】质数与合数．
【专题】整式；运算能力．
【答案】30．
【分析】因为所有的质数除2以外都是奇数，题中a+b＝c，b、c为质数，由数的奇偶性可以推知假如a为偶数也为质数，则a＝2，b，c都是质数，根据a×b×c的值最小的条件，可推知b＝3，c＝5，所以a×b×c的最小值是2×3×5＝30．
【解答】解：因为所有的质数除2以外都是奇数，题中a+b＝c，由数的奇偶性可以推知假如a＝2；b，c都是质数，
根据a×b×c的值最小的条件，可推知：b＝3，c＝5，
所以a×b×c的最小值是2×3×5＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查质数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握质数的定义．
16．（3分）计算：
（1）（23xy2﹣x3y2）÷（﹣2xy2）＝ −13+12x2 ；
（2）（5a3b2+10a2b3）÷ 5a2b2 ＝a+2b．
【考点】整式的除法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）−13+12x2；
（2）5a2b2．
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（2）先把被除式因式分解，根据单项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：（1）原式=23xy2÷（﹣2xy2）﹣x3y2÷（﹣2xy2）
=−13+12x2；
故答案为：−13+12x2；
（2）∵5a3b2+10a2b3＝5a2b2（a+2b），
∴5a2b2（a+2b）÷（a+2b）＝5a2b2．
故答案为：5a2b2．
【点评】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是掌握整式乘除的运算法则．
三．解答题（共8小题）
17．计算：678+(4.125−123)．
【考点】有理数的加减混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】913．
【分析】先去括号，再将小数化为分数，再利用分数的加减运算法则即可求解．
【解答】解：原式=678+4.125−123
=678+418−123
=11−123
=913．
【点评】本题考查了分数的加减混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．计算：﹣32+（−15）×（﹣15）÷（﹣3）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣10
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：﹣32+（−15）×（﹣15）÷（﹣3）
＝﹣9+（−15）×（﹣15）÷（﹣3）
＝﹣9+3÷（﹣3）
＝﹣9﹣1
＝﹣10．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，规律方法：有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
19．计算：2023×2024−12023+2022×2024．
【考点】平方差公式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】先将2023×2024−12023+2022×2024变形为2023×(2023+1)−12023+(2023−1)×(2023+1)，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：2023×2024−12023+2022×2024
=2023×(2023+1)−12023+(2023−1)×(2023+1)
=20232−202220232−2022
＝1．
【点评】本题考查的是平方差公式及有理数的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．
20．计算：
14+(−23)+45+(−14)+(−13)．
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】−15．
【分析】先交换加数的位置，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算即可．
【解答】解：原式=[14+(−14)]+[(−23)+(−13)]+45
=0+(−1)+45
=−15．
【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则和加法运算律．
21．计算：（﹣13）+（+20）﹣（﹣7）+（﹣16）．
【考点】有理数的加减混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据有理数加减混合运算法则，准确计算，是解题的关键．
【解答】解：（﹣13）+（+20）﹣（﹣7）+（﹣16）
＝﹣13+20+7﹣16
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
22．计算：−12022+(34−13−12)×(−12)．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】先算乘方，利用乘法的分配律进行运算，再算加减即可．
【解答】解：−12022+(34−13−12)×(−12)
＝﹣1+34×（﹣12）−13×（﹣12）−12×（﹣12）
＝﹣1﹣9+4+6
＝0．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．求x的值，0.5：x=72：4
【考点】解比例．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x=47．
【分析】根据比例的简便性质解答即可．
【解答】解：原比例式就是：
12：x=72：4
由比例的基本性质得：
72x＝4×12，
即：72x=2，
解得 x=47．
【点评】考查了比例的性质，此题利用“内项之积等于外项之积”求解．
24．解下列方程
①3＝1﹣2（4+x） ②x+1﹣2（x﹣1）＝1﹣3x
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣5；
（2）x＝﹣1．
【分析】分别通过去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤进行求解．
【解答】解：①去括号，得3＝1﹣8﹣2x，
移项，得2x＝1﹣8﹣3，
合并同类项，得2x＝﹣10，
系数化为1，得x＝﹣5；
②去括号，得x+1﹣2x+2＝1﹣3x，
移项，得x﹣2x+3x＝1﹣1﹣2，
合并同类项，得2x＝﹣2，
系数化为1，得x＝﹣1．
【点评】此题考查了一元一次方程的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
四．解答题（共5小题）
25．已知圆的半径为18cm，扇形的圆心角为135°．求扇形的面积．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】2432π cm2．
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵圆的半径为18cm，扇形的圆心角为135°，
∴S扇形=135π×182360=2432π（cm2）．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
26．我们知道a÷b=ab，b÷a=ba，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．试利用这种思想方法计算：（−142）÷（13−521+314−27）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】对于（13−521+314−27）÷（−142），先把除法运算化为乘法运算，再利用乘法的分配律进行计算，然后利用倒数关系得到（−142）÷（13−521+314−27）的值．
【解答】解：（13−521+314−27）÷（−142）
＝（13−521+314−27）×（﹣42）
=13×（﹣42）−521×（﹣42）+314×（﹣42）−27×（﹣42）
＝﹣14+10﹣9+12
＝﹣4+3
＝﹣1，
所以（−142）÷（13−521+314−27）＝﹣1．
【点评】本题考查了有理数的混合运算：在进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
27．如图，三角形ABC的面积为20cm2，已知AD＝3AB，AE＝3AC，求三角形ADE的面积．（要求：能比较清晰地表达出自己的思考过程．）
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】180cm2．
【分析】连结BE，分别得出三角形ABE的面积与三角形ABC的面积的关系，三角形ADE的面积与三角形ABE的面积的关系，从而得到三角形ADE的面积与三角形ABC的面积的关系，从而求解．
【解答】解：连结BE，
因为AE＝3AC，△ABE和△ABC的高相等，
所以三角形ABE的面积是三角形ABC的3倍，20×3＝60（cm2），
又因为AD＝3AB，
所以三角形ADE的面积是三角形ABE的3倍，
所以三角形ADE的面积是：60×3＝180（cm2）．
答：三角形ADE的面积是180cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积，解答此题的关键根据同高的两个三角形间的面积关系推知所求三角形的面积与已知三角形面积间的数量关系．
28．甲乙两人在同一条椭圆形跑道上作特殊的跑步训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈的速度比第一圈提高了15．已知甲乙两人第二次相遇点距第一次相遇点285米，问这条与椭圆形跑道长多少米？
【考点】一元一次方程的应用；有关圆的应用题．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】跑道长为600米．
【分析】设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是23a．再设跑道长是L，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点285米，即可求出椭圆的跑道长．
【解答】解：设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是23a．再设跑道长是L，
则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为35L．
甲跑完第一圈，乙跑了23L，乙再跑余下的13L，甲已折返，且以a（1+13）=43a的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23L，
这时，乙折返并以23a（1十15）=45a的速度跑着．
从这时起，甲、乙速度之比是43a÷45a=53，即5：3．
所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的L3的58，而乙跑了它的38，即第二次相遇时距出发点38×L3=L8．
可见两次相遇点间的距离是(35−18)L＝190（米），即1940L＝285（米），L＝600（米）．
答：跑道长为600米．
【点评】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程，此题有一定的难度．
29．如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，它的面积为（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.请解答下列问题：
（1）根据图②，写出一个代数恒等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；
（3）小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 4a+5b或2a+3b ， 2a+3b、4a+5b ．
【考点】因式分解的应用；一元一次方程的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）ab+ac+bc＝20；
（3）4a+5b、2a+3b或2a+3b、4a+5b．
【分析】（1）先从整体表达出正方形的总面积：（a+b+c）（a+b+c），各个小的矩形的面积之和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，总的正方形的面积等于各个小的矩形面积之和，即可得出答案；
（2）利用（1）中所得的结论和已知条件：a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，进行整体运算即可得到结果；
（3）根据题意可知拼出的长方形的总面积为：8a2+15b2+22ab，再用因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
将a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60代入上式，
可得：102＝60+2ab+2ac+abc，
则2ab+2ac+2bc＝40，
故ab+ac+bc＝20；
（3）∵长方形的总面积为：8a2+15b2+22ab，
∴8a2+15b2+22ab＝（4a+5b）（2a+3b），
该长方形的长为4a+5b或2a+3b，宽为2a+3b或4a+5b．
故答案为：4a+5b、2a+3b或2a+3b、4a+5b．
【点评】本题考查对完全平方公式和因式分解的几何意义的理解，应该从整体和部分两方面理解其几何意义，属中档题．正确进行计算是解题关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
3．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
6．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
7．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
10．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
12．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
13．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
14．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
15．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
18．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
19．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
20．容斥原理
容斥原理．
两个集合的容斥关系公式：AUB＝|AUB|＝|A|+|B|﹣|A|∩|B|（∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：|AUBUC|＝|A|+|B|+|C|﹣|A∩B|﹣|B∩C|﹣|C∩A|+|A∩B∩C|．
21．质数与合数
1．正整数的一种分类：质数和合数．
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．
合数的定义：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其它的正整数整除，这样的正整数叫做合数．
2．根据质数定义可知：
①质数只有两个正约数，1和它本身．
②质数中是偶数的只有一个，它就是2．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2．
3．任何合数都可以分解为几个质数的积；能写成几个质数的积的正整数就是合数．
22．分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质．分数的基本性质是约分和通分的理论依据．
23．解比例
解比例常用于解决比例关系明显的问题，如相似三角形（图形），线段分割，三角函数，化学方程式计算等．比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积．
24．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
25．有关圆的应用题
主要在六年级数学课本中学习，主要考查圆的面积，根据面积求费用．也考查圆的周长，根据圆的周长求两人同向或逆向跑步时何时相遇．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
A
C
C
D