高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用同步达标检测题

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【考点1 空间向量的线性运算】
1．12a+2b−3c−3a−2b−c=（ ）
A．−52a−4cB．−52a+4b−2cC．−52a+7b+32cD．−52a−5b−92c
2．已知a=(1,2,1)，b=(2,−4,1)，则2a+b等于（ ）
A．(4,−2,0) B．(4,0,3) C．(−4,0,3) D．(4,0,−3)
3．已知向量a=−2,−3,1，b=2,0,3，c=0,0,2，则a+6b−c的坐标为 .
4．已知a=(1,−3,8)，b=(3,10,−4)，求a+b，a−b，3a．
5．如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
(1)CB+BA1；(2)AC+CB+12AA1；(3)12AA1−12B1B−AC−CB.
【考点2 空间向量数量积的应用】
1．平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长度为（ ）
A．322B．6C．3D．6
2．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为（ ）
A．−36B．36C．−24D．24
3．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6，AD=2,∠BAD=∠BAP=∠DAP=60∘,E,F分别为PB,PC上的点，且PE=2EB，PF=FC,EF= .
4．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.

(1)求BC⋅BD的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足AE=2EB，求线段EF的长.
5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的长；
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
【考点3 空间向量基本定理及其应用】
1．已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．−34B．34C．43D．−43
2．已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则AM=（ ）
A．3B．2C．5D．6
3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= ．
4．如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)OQ=PQ+xPC+yPA；(2)PA=xPO+yPQ+PD．
5．图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=23DD1．
(1)证明：A、E、C1、F四点共面．
(2)若EF=xAB+yAD+zAA1，求x+y+z．
【考点4 空间线、面平行关系的判定及应用】
1．已知直线l的方向向量为m=(1,−2,4)，平面α的法向量为n=(x,1,−2)，若直线l与平面α平行，则实数x的值为（ ）
A．12 B．−12 C．10 D．−10
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．垂直D．不能确定
3．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1=2,−3,1，AB=1,0,−2，AC=1,1,1，则平面α和平面ABC的位置关系是 ．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形B1C1CB的中心．求证：
(1)AC1⊥平面A1BD；
(2)EF//平面A1BD；
(3)平面B1EF∥平面A1BD．
【考点5 空间线、面垂直关系的判定及应用】
1．长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,AA1=5,AC∩BD=O,M为CC1中点，则下列选项中与OM垂直的是（ ）
A．OA1B．BCC．OB1D．A1C
2．已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CD的中点，给出以下结论：
①A1P⊥C1D；②A1P⊥BD；③A1P⊥BC1；④A1P⊥平面BC1D
其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是 （填写正确的序号）
4．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60° PA=AB=BC=2，E是PC的中点．
求证：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE．
5．如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M 为BC的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点．
(1)求证：平面APM⊥平面BB1C1C；
(2)试判断直线 BC1 与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．
【考点6 利用空间向量研究距离问题】
1．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点D到平面AEF的距离为（ ）

A．21111B．1111C．114D．41111
2．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（ ）
A．2B．3C．23D．33
3．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AB=2，F为棱PD的中点，点M在PA上，且PM=2MA，则CD的中点E到直线MF的距离是 ．
4．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，AD=2,AB=3，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P,B重合），平面ADE交棱PC于点F.

(1)求证：AD//EF；
(2)若二面角E−AC−B的余弦值为33020，求点B到平面AEC的距离.
5．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
(3)求点A1到平面AB1E的距离．
【考点7 利用空间向量求空间角】
1．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3，则B1C与BD1所成角的大小为（ ）

A．π4B．π3C．π2D．2π3
2．在平行四边形ABCD中，角A=π6,AB=3,AD=1，将三角形ABD沿BD翻折到三角形A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD.记线段A′C的中点为M，那么直线A′D与平面BDM所成角的正弦值为（ ）
A．64B．33C．22D．32
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则二面角A-PC-B的余弦值为 ．
4．如图，正四棱锥P−ABCD的高为22，体积为823.

(1)求正四棱锥P−ABCD的表面积；
(2)若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角A−PB−C的余弦值.
5．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，PC⊥底面ABCD,E是AC的中点，PF=13PD.

(1)证明：平面PBC⊥平面ACF.
(2)若直线PE与平面PAB所成角的正弦值为1015，且PC>CD，求平面ACF与平面PAB夹角的余弦值.
【考点8 利用空间向量研究存在性问题】
1．如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE，M,N分别是线段BC,SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D,C），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点Q，使得NQ⊥SB
B．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60∘
C．三棱锥Q−AMN体积的最大值是43
D．当点Q自D向C处运动时，二面角N−MQ−A的平面角先变小后变大
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在点Q，使得D1Q⊥平面A1PD
C．当且仅当点Q落在C1处时，三棱锥Q−A1PD的体积最大
D．若D1Q=62，那么点Q的轨迹长度为24π
3．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且AB//CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB=2，BC=CD=1．

(1)求证：AB⊥PD；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由．
4．图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=26，如图2.
(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为2155？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值.
5．如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3,E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.

(1)当AB′=2时，证明：平面B′AE⊥平面ABC；
(2)已知二面角B′−EF−A的大小为π4，棱AC上是否存在点M，使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.