辽宁省部分学校2025年初中学业水平模拟考试(一)数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省部分学校2025年初中学业水平模拟考试(一)数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知一组数据：，，，，，，，，，，，，则该组数据的众数为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】该组数据中出现次，出现次，出现次，
其中出现的次数最多，
该组数据的众数为．
故选：．
2. 如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A. 双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形
B. 双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴
C. 双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形
D. 双曲线E自变量能够保证连续性
【答案】C
【解析】过点A作轴，交直线于G，连接，
设，，
∵直线与x轴的夹角为，
∴由平行线的性质可得，
∵关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上，
∴双曲线一定关于直线对称，且关于直线对称，
∵在中，，
∴四个选项中只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
3. 进到太空能力有多大，航天舞台就有多大．1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有吨；“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平．目前正在研究计划2027年发射长征十号火箭，预计运载能力为吨，其中“吨”用科学记数法可表示为多少千克？（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】吨千克，
故选：D ．
4. 下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（ ）
A. 生活中，由灯泡发出光线形成的投影叫做正投影
B. 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形
C. 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影
D. 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理
【答案】A
【解析】生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意；
正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意；
三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意；
故选A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
【答案】C
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
B、，故原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
6. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ）
A. 该函数的图象与轴始终有两个交点
B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点
C. 该函数的图象过一定点
D. 该函数的图象的对称轴为直线
【答案】BC
【解析】当时，
一元二次方程中，，
该一元二次方程有两个不等实数根，
函数的图象与轴始终有两个交点；
当时，
函数，即为一次函数，
则该函数的图象与轴只有一个交点，
函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点，
选项错误，选项正确；
无论为何值，当时，，
函数（为常数）过定点；C选项正确；
当时，
函数是一次函数，无对称轴，选项错误．
故选：．
7. 大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（ ）
A. 张老师抽中轮空票的概率为
B. 夏老师抽中批阅题的概率为
C. 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为
D. 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为
【答案】C
【解析】依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空，
张老师抽中轮空票的概率为，选项错误；
夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误；
刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率，
即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确；
已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果，
则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误
故选：C．
8. 已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】车的速度为，车的速度为，设车行驶后与车相遇，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，
∴车行驶的时间为，
∴，
故选：A ．
9. 如图，在中，是上的四个点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，延长交于点，连接，
∵是直径，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵点在上，
∴四边形是内接四边形，
∴，
在中，，
故选：B ．
10. 如图，在正方形中，点为边上一动点（不与、重合），进行下列操作：
①在上取一点，以为圆心，为半径作弧交于，连接；
②分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，过作于（点在线段上）；
③分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于，两点，连接，设交于点．
下列说法正确的是（ ）
A. 随着点的运动，点不能一直存在于上
B. 点为的外心
C. 四点不一定同时在一个圆上
D. 当点为中点时，点为上靠近的三等分点
【答案】B
【解析】根据题意得：，，直线是的垂直平分线，
、在线段的垂直平分线上，
即是的垂直平分线，
考虑两个极端情况，当点与点重合时，示意图如下：
此时、、三点重合，点存在于上，
当点与点重合时，示意图如下：
此时点存在于上，
连接，设和相交于点，
等腰三角形中，
，四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，，
，
随着点的运动，点一直存在于上，故选项错误，不符合题意；
由，，
点、在的垂直平分线上，
即垂直平分，
又直线是的垂直平分线，点是直线和直线的交点，
点为的外心，故选项正确，符合题意；
由上可知，，
，
，
、、、四点共圆，故C选项错误，不符合题意；
当点为中点时，如图所示，延长并交的延长线于点，
设，则，
，
，
，
，
，
设，则，
，
即，
解得，即，，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. ______．
【答案】0
【解析】
．
12. 存在下列说法：
①相等的角是对顶角；
②方程是关于的一元二次方程；
③概率为的事件为不可能事件；
④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点；
⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程．
上述说法中正确的有______条．
【答案】
【解析】①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，①说法错误；
②方程不是关于的一元二次方程，是分式方程，②说法错误；
③不可能事件的概率为，但概率为的事件不一定为不可能事件，③说法错误；
④动直线（为常数）过定点；定直线也过定点，如，④说法错误；
⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，这个方程也可能一元二次方程，如，⑤说法错误；
综上，上述说法中正确的有条．
故答案为：．
13. 已知中，，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】如图所示，
∴点，故答案为： ．
14. 如图，在半径为5的中，点为外一点，过作两条直线分别与圆交于、、、四点（顺时针排列），过作，垂足为；，垂足为．若，，，则的长为______．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，，
在中，，则，
∵点、、、四点在上，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴，
故答案为： ．
15. 如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为______．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∵以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，则，
∴，则，
∴阴影部分的面积，
故答案为： ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
解：（1），
，
，
该方程有两个不等的实数根．
．
方程的两根为．
（2）
原式
．
17. 在人教版八年级上册数学书页提到了杨辉三角，材料如下：
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数．
根据上述材料，请回答：
（1）请根据的展开式证明其对应第四行的系数；
（2）请根据的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质；
（3）请你预测并直接写出展开式的第二项系数______．
（1）解：，
的展开式的系数为，，，，
的展开式的系数对应第四行的系数；
（2）解：，
第七行的系数为：，，，，，，，
杨辉三角的性质：递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和；
（3）解：由题意知，从第二行开始第二项系数与的次幂相等，
展开式的第二项系数为，
故答案为：．
18. 大连某高级中学为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．清唱社；B．篮球社；C．辩论社；D．文学社；E．模联社，德育处为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）喜爱辩论社的有______名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角______；
（3）现从文学社里表现优秀的甲、乙、丙、丁、戊五名同学中随机选取两名参加社团招新活动，请用列表的方法求出恰好选中甲和丙两名同学的概率．
（1）解：B．篮球社的有50人，百分比为，
∴（人），
∴样本容量为，
∴喜爱辩论社的人有：（人），
∴补全图形如下，
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
共有20种等可能结果，其中恰好选中甲和丙两名同学的有2种，
∴恰好选中甲和丙两名同学的概率为．
19. 人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为．
（1）写出C关于t的函数解析式；
（2）若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
（1）解：当时，设，
抛物线经过，，
代入得：，
解得：，
，
当时，
反比例函数经过，设，
代入得：，
；
（2）解：当时，函数随着的增大而增大，
此时令，解得，
当时，随着的增大而减小，
令，则，
解得，
该机体患病的时间段为．
20. 如图，在中，为直径，点在上，连接．点在的延长线上，点为上不与重合的任意一点，满足．
（1）求证：为的切线；
（2）若点为的中点，的直径为13，，求的长．
（1）证明：连接，
，
，
∵是直径，
∴，
∴，即，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
，
，
又为的半径，
是的切线．
（2）解：连接，
为的直径，
，
在中，，根据勾股定理，
的直径为13，，
，
为的中点，
，
，
，
为的垂直平分线，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
∴，即，
，
，根据平行线分线段成比例，
，即，
．
21. 古代数学家刘徵编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘微的《重差》测量一个球体建筑物的高度．如图，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且．
（1）求的长度；
（2）求该球体建筑物的最高点到地面的距离．（参考数据：）
（1）解：由题意知：为圆心，为切点，，
为的切线，
根据切线长定理，，
为的切线，
根据切线长定理，，
，
，
，
在Rt中，，，
∴．
（2）解：，
根据直角三角形的性质，，
．
最高点到地面距离为．
22. 综合与实践
【问题提出】在参与大连市教研活动的过程中，大连市某中学的朱老师提出了一个问题：
如图，在等腰中，，点为上一点，连接，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接．点为中点，连接．求证：．
【解决问题】（1）请你解决朱老师的问题；
【合作探究】（2）某数学小组的同学们经过合理拓展延伸，提出了新的问题．
小郭：“经过观察与度量，我发现与存在某种数量关系．”
小豪，小单：“两条线段的数量关系难以直接证明，我们准备通过平移，旋转，翻折三大变换分别进行探究．”
于是小豪，小单，小郭三人分别利用三种方法进行探究，均没有成功．朱老师：“这个问题提的很有价值，如果只利用一种方式进行解答，确实狭隘了．现在给出提示，这道题可以单独利用旋转相似或者利用轴对称与旋转结合的方式解决．在（1）的前提下，请运用合适的方法探究与的数量关系，并证明．”
【问题延伸】（3）小王，小晟：“在（2）的前提下，我们发现若给出图中任意两条互相没有关联的线段的长度（如），即可求得所有边的边长．”在两位同学的提示下，若，求的长．
解：（1）根据题意作图如下，
设，
，
，
，
，即．
（2）如图1，作，截取，连接，
又，
，
，
为中点，，根据三线合一，
平分，
，
，
，点为中点，根据直角三角形斜边中线定理，
，
又，
，
，
在中，根据勾股定理，，即．
（3）过作于，过作于，
．
又，
，
根据勾股定理，，
在中，根据勾股定理，，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，，
，，
在中，根据勾股定理，，
整理得，
解得，
，
同上根据勾股定理，，
．
23. ★定义：符合一定条件的动点所形成的图形叫做轨迹．
在二次函数中，我们可以发现一类含有参数的抛物线，这类抛物线随着参数的变化而变化，主要可以分为二次项含参与非二次项含参的抛物线．一般地，对于这两类抛物线，我们都可以通过探究顶点的轨迹来确定它们的运动路径．
已知函数，其中为常数，记函数的图象为G．
（1）当时，已知在图象上，求的值；
（2）已知函数图象的左支顶点坐标为，求关于的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）；
（3）在平面直角坐标系中存在直线，设函数表示直线与间函数最大值与最小值的差．求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（4）在题目的条件以及定义的提示下，请从下列两个问题中选取一个问题作答，选取第一个问题作答得4分，选取第二个问题作答得2分，请在答题卡上标出你所选择问题的序号并写出答案．若同时选取①，②进行作答则按照第一个解答内容计分．
①已知四边形的顶点坐标分别为．若图象与四边形有两个公共点，请直接写出的取值范围．
②平面直角坐标系中存在直线，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围．
（1）解：当时，在图象上，此时，
在图象的右支上，
；
（3）解：函数图象的左支函数表达式为，
即顶点坐标为，，
则关于的函数关系式为；
（3）解：当，得，函数的左支随着的增大而减小，
最大值在处取到，最大值为，
最小值在处取到，最小值为，
得；
当时，得，函数的右支随着的增大而减小，
最大值在处取到，最大值为，
最小值在处取到，最小值为，
得，
综上，；
（4）解：选项①：
当时，取左支顶点纵坐标为，作为临界值，如图所示，
，
解得：（舍）或，
左支顶点纵坐标为，，
越大，左支顶点的纵坐标越小，如图所示，会出现三个交点，
；
当时，左支顶点的纵坐标，如图所示，会出现3或4个交点，
当时，如图所示，有2个交点，
当时，如图所示，取左支经过点时作为临界值，
此时，即，
解得：（舍）或，
综上所述：或；
选项②：
先找一个特例，当时，如图所示，直线与图象只有一个公共点，
当左支顶点在直线上时，作为临界值，如图所示，
，即，
解得：（有一个交点，不符题意，舍）或，
当时，取右支上点经过直线时作为临界值，如图所示，
，即，
解得：（不符题意，舍）或，
综上所述：．
甲
乙
丙
丁
戊
甲
（甲、乙）
（甲、丙）
（甲、丁）
（甲、戊）
乙
（乙、甲）
（乙、丙）
（乙、丁）
（乙、戊）
丙
（丙、甲）
（丙、乙）
（丙、丁）
（丙、戊）
丁
（丁、甲）
（丁、乙）
（丁、丙）
（丁、戊）
戊
（戊、甲）
（戊、乙）
（戊、丙）
（戊、丁）