2024年辽宁省初中学业水平考试仿真冲刺卷数学试题（一）（解析版）

这是一份2024年辽宁省初中学业水平考试仿真冲刺卷数学试题（一）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 我国已建成全球规模最大的移动宽带和光纤网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64320000千米，其中64320000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：64320000用科学记数法可表示为．
故选：B．
2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
3. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：∵，
∴最低的气温是；
故选A．
4. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5. 如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质等知识．由平行四边形的性质得，，由，，求得点的坐标为，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，点在轴上且，
，，
，
故选：C．
6. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意；
B、∵，选项B不正确，不符合题意；
C、∵，选项C正确，符合题意；
D、∵，选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
7. 若分式的值为0，则x的值为（ ）．
A. 0B. 1C. ﹣1D. ±1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得.
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（ ）
A. 27B. 48C. 54D. 108
【答案】D
【解析】
【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值．
【详解】解：如图所示
过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：，
，
设，
∴，．
∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，
∴ ，．
∵，
即
解得：，．经检验符合题意；
∴
∴ 反比例函数中，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键．
10. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状．
【详解】解：过作于，

四边形为矩形，
， ，
∴，
四边形也是矩形，
，，
，
，
在上，在上，
，，
，
关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
故选：C．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：=_______________.
【答案】a(a+b)(a-b).
【解析】
【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
解析：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
12. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了树状图或列表法求概率，先列出表格得到所有等可能的结果数，再找到恰好选中1名男生1名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确列出表格是解题的关键．
【详解】解：两名男生用A、B表示，女生用C表示，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选中1名男生1名女生的结果数有4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为，
故答案为：．
13. 如图，是的中线，E，F分别是，的中点，，则的长为_____．

【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了三角形的中线和中位线，先利用中位线性质求得，再由中线知即可解答，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故答案为：．
14. 如图，菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，连接，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．连接，证明是等边三角形，得出，利用勾股定理求出，证明，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：连接，
∵菱形的边长为，
∴，，
又，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
又为的中点，
∴，
故答案为：．
15. 如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，轴，
，
，则，
，
抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，
，对称轴为直线，
轴，
，则，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数与二次根式的运算和解一元二次方程，掌握实数运算的法则和解一元二次方程的方法是关键．
（1）先计算负指数幂、立方根、绝对值、二次根式的化简，再合并同类项；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1）
（2）
移项，得
配方，得，即．
解得．
所以．
17. 3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．
（1）求香樟树和桂花树的单价；
（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？
【答案】（1）香樟树和桂花树单价分别为60元，90元
（2）最多可以购买桂花树30棵
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设香樟树和桂花树单价分别为元，y元，由购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元，再建立方程组解题即可；
（2）设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，由总费用不超过3300元，再建立不等式解题即可．
【小问1详解】
解：设香樟树和桂花树单价分别为元，y元
根据题意得，，
解方程得，，
答．香樟树和桂花树单价分别60元，90元．
【小问2详解】
设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，
根据题意得，，
解不等式得，，
答：最多可以购买桂花树30棵．
18. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）；（2）6个；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b的值，由扇形统计图可解得m的值；
（2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题；
（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．
【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中， 出现的此时最多，即众数是 ；
由扇形统计图可知，
八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19. 直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4元/，销售价格不高于18元/，且每售卖1需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量（）与销售价格（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数解析式；
（2）当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设与的函数解析式为，然后结合题意，利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种芒果日获利元，可得与的二次函数解析式，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【小问1详解】
解：设与的函数解析式为，
将，代入，
可得，解得，
所以，与的函数解析式为；
【小问2详解】
设销售这种芒果日获利元，根据题意，
可得，
因为，且销售价格不高于18元/，
所以当时，有最大值，为5000元．
答：当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元．
20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为．
（1）求点到的距离的长；
（2）设建筑物的高度为（单位：）：
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）：
②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
（2）①；②建筑物的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数测高方法是解决问题的关键．
（1）根据题意得到，利用含的直角三角形性质计算即可得到答案；
（2）①根据题意，在和解直角三角形，数形结合，由代值求解即可得到答案；②过点作，垂足为，如图所示，利用矩形判定与性质，在中，解直角三角形求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意知，
在，，，
∴，即的长为；
【小问2详解】
解：①在中，，
∴，
在中，由，，，得，
∴，即的长为；
②过点作，垂足为，如图所示：
根据题意，，
∴四边形是矩形，
∴，，可得，
在中，，，
∴，即，
∴，
答：建筑物的高度约为．
21. 在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．

（1）如图①，求证：点H，G三等分．
（2）如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：是①所作圆的切线．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论；
【小问1详解】
证明：在圆内接正六边形中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形，
∴．
∴点H，G三等分．
【小问2详解】
①解：如图，即为所求作．

②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴．
∴是①所作圆切线．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．
22. 问题情境
数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片（各等腰三角形形状不同）探究旋转的特性，如图①，，为底边的中点．将以点为旋转中心，逆时针方向旋转，设旋转后得到的三角形记为，旋转角为．同学们经过操作探究后发现：旋转角等于2倍底角的度数时，边总能落在原三角形边所在的直线上．在此基础上同学们进行如下探究：
独立思考：
小明：“设与相交于点，当与垂直时，则．”
小红：“若，过点作，垂足为，交于点F，则．”
实践探究
奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
（1）问题1：在等腰三角形中，，由绕底边中点旋转得到，当旋转角时，边总能落在原三角形边所在的直线上．
（i）如图②，设与相交于点，当与垂直时，求证：；
（ii）如图③，若，过点作，垂足为，交于点，求证：．
问题解决
小明经过探究发现：在问题1的基础上，若给出等腰三角形腰与底的长，图中用字母标记的线段都可求，可以将问题进一步拓展．
（2）问题2：如图④，在等腰三角形中，，．若与的延长线相交于点，请直接写出的长．
【答案】（1）（i）见解析；（ii）见解析；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键．
（1）（i）结合，易得，由题意可知，解得的值，即可证明结论；（ii）连接，由等腰三角形的性质可得，结合题意可得为等腰直角三角形，进一步解得，的值，可证明，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点作交于点，由题意易得，由相似三角形的性质可得的值，进而可得，结合，可知，然后求解即可．
【详解】（1）证明：（i）∵，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，解得；
（ii）如下图，连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
提示：如图②，过点作交于点，
∵，，且为中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，解得．
23. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
（1）在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
（2）如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．
①求面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
【答案】（1）①② （2）①4；②或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）求出点P的坐标，结合图形求出的面积取得最大值时点Q的坐标，即可求出的面积的最大值；
②在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
①到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
②到两坐标轴的距离分别是2，，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
③到两坐标轴的距离分别是，，
∵，
∴不是反比例函数图像的“2阶方点”；
故答案为：①②；
【小问2详解】
∵一次函数，
∴一次函数过定点，
当时，，
∴在抛物线上，
∴．
①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”，
∴当Q的纵坐标为－1时，面积最大．
∴面积最大为；
②∵一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，
∴在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
当一次函数过时，
，
解得．
当一次函数过时，
，
解得．
综上：或．
【小问3详解】
在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，
如图，当时，，
当抛物线经过点B时，
，
解得；
当抛物线经过点D时，
，
解得（舍）或；
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质吗，坐标与图形的性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
A
B
C
A
B
C
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%