苏科版七年级数学上册 6.5 多边形（第6章 平面图形的初步认识 学习、上课课件）

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多边形的概念及其要素等多边形的对角线正多边形的概念
多边形的概念及其要素等
1. 多边形的概念在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点.
特别解读多边形的三个必要条件：1. 线段在“同一平面内”;2. 线段不在“同一直线上”且条数不少于3;3. 首尾依次相接.
2. 多边形的分类及表示方法根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等. 图6.5 -1中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”.
知识储备多边形表示：图形名称＋它的各个顶点的字母.字母要按照顶点的顺序书写, 可以按顺时针或逆时针的顺序.
3. 多边形的内角、外角多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
知识储备类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°
一个七边形的纸片，小明将这个七边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的纸片可能的边数为_____.
解题秘方：分三种情况画图讨论，即可求出剪去一个角后得到的多边形纸片可能的边数．
解：如图6.5 -3 ①，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是六边形；如图6.5 -3 ②，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是七边形；如图6.5 -3 ③，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是八边形．
规律总结一个多边形(边数大于3)截去一个角后，多边形可能的边数：(1)从所截角的两边截，边数增加1；(2)从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1；(3)从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
如图6.5-4，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE＝______°.
解题秘方：先求出外角∠ACD的度数，再结合角平分线的概念解答即可．
解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B ＝ 180°－∠ACB．因为∠ACD＝180°－∠ACB，所以∠ACD ＝∠A＋∠B＝60°＋40°＝100°.因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠ECD＝50°.
知识链接小学已经学习了三角形的内角和是180°.如图6.5-5，由例题易得∠ACD＝∠A＋∠B.发现：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角度数的和.
1. 概念连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，图6.5 -6 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线.
2. n边形的分割从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三 角形.由图6.5 -7可知，从n(n ≥ 3)边形的一个顶点可以作出(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形.
[期中·杭州上城区] 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为19，求这个多边形的边数．
解题秘方：紧扣从多边形一个顶点出发, 沿对角线将其分割成三角形的规律，建立方程得出结论．
解：设这个多边形为n边形．根据题意，得(n－3)＋(n－2)＝19．解这个方程，得n＝12．答：这个多边形的边数是12．
解题技巧解本题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．对角线是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题．
1. 概念 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.2. 注意：判断一个多边形是不是正多边形, 各边都相等, 各角都相等，两个条件必须同时具备.
如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.
特别提醒等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°；正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；正五边形的各边都相等，各角都是108°.
[ 期中·咸阳秦都区] 已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的 边长．
解题秘方：先求出这个正多边形的边数，再根据正多边形的边长相等求出正多边形的边长．
解：因为从正多边形一个顶点出发共有4 条对角线，所以这个正多边形边数为4＋3＝7 .因为正多边形的周长为56，所以它的边长为56÷7＝8．答：这个正多边形的边长为8．
另解设正多边形的边数是n，则n－3＝4，解得n＝7．设这个正多边形的边长为x，则7x＝56，解得x＝8.即这个正多边形的边长为8．