苏科版七年级数学上册 6.4 平行线（第6章 平面图形的初步认识 学习、上课课件）

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平行线的定义平行线的画法平行线基本事实1同位角、内错角、同旁内角平行线的判定平行线的性质定理1平行线的性质定理2平行线的判定及性质的区别
1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.特别提醒：平行线的三要素：(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线.
2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图6.4-1，AB，CD两条直线互相平行，记作“AB∥CD(a∥b)”或“CD∥AB (b∥a)”，读作“AB平行于CD(a平行于b)”或“ CD平行于AB(b平行于a)”.
特别解读在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：(1)相交；(2)平行.重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中任何一种位置关系.
如图6.4-2，在长方体中，与棱AD平行的棱有哪些？与棱D′C′ 平行的棱呢？用符号把它们表示出来.
解题秘方：根据平行线的定义，结合生活常识，观察图形可解此题.
解：与棱AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC，记作AD∥A′D′，AD∥B′C′，AD∥BC.与棱D′C′平行的棱有DC，AB，A′B′，记作D′C′∥DC，D′C′∥AB，D′C′∥A′B′.
方法点拨找平行线要注意两点：(1)在同一平面内；(2)不相交(无限延伸).
1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤一放：把三角板的一边放在已知直线上；二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺；三推：把三角板沿着直尺推动使其经过已知点；四画：沿三角板的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线.
特别提醒1．经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2．画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.
2. 示意图(如图6.4-3)
如图6.4-4， 在方格纸中经过点C画与线段AB平行的直线l．
解题秘方：利用方格纸的格点构造长方形画图.
解：如图6.4-4，直线l即为所求．
方法点拨利用直尺在方格纸中画互相平行的直线的方法：水平方向与竖直方向的平行线，可以沿方格纸的横线与竖线直接画平行线；而其他方向的平行线，可以在方格纸中分别画出两个横m竖n的长方形的对角线所在的直线，如图6.4-5，AB∥CD.
如图6.4-6所示，在∠AOB内有一点P.
解题秘方：按照题目的要求，结合平行线的画法画图，再测量并判断.
(1)过点P画l1∥OA；(2)过点P画l2∥OB；
解： 如图6.4-6，直线l1即为所求.
如图6.4-6，直线l2即为所求.
(3)用量角器量一量l1与l2的夹角与∠O的大小有怎样的关系.
解：如图6.4-6，l1与l2的夹角有四个.经过量角器测量， 发现∠1＝∠3＝∠O， ∠2＋∠O＝180°，∠4＋∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补.
特别提醒本题是操作探究题，要按照题目的操作要求，用工具严格按步骤进行，如用三角板画平行线推移时，经过点的边是三角板落在已知直线上的那一边，而不是任意一边.只有画图正确，测量数据才会准确，最后判断的结论也才会符合题意.
1. 平行线基本事实1 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.如图6.4-7，经过直线l外一点A画直线l的平行线，能且只能画出一条.特别提醒：平行线基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线.
特别解读“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性.
下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②一条直线的平行线只有一条； ③过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行. 其中正确的有( )A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
解题秘方：根据平行线基本事实1 判断即可.
解：过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行，而过直线上一点画不出与该直线平行的直线. 一条直线的平行线有无数条. 故只有③正确.
思路点拨对于此类辨析题，要正确解答，必须要抓住相关的内容，特别是关键字词及其重要特征，要在比较中理解，再在理解的基础上进行记忆.
如图6.4-8，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E 三点是否共线？你能说明理由吗？
解题秘方：紧扣平行线基本事实1 解答．
解：C，D，E三点共线. 理由如下： 因为CD∥AB，CE∥AB，根据过直线AB外一点C有且只有一条直线与直线AB平行，可知CD，CE在同一条直线上. 所以C，D，E三点共线．
方法总结说明三点共线的方法：(1)夹角为180°；(2)分别过两点确定的两条直线为同一条直线.
同位角、内错角、同旁内角
1. 概念 如图6.4-9，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角. 具有∠1和∠2这种位置关系的一对角叫作同位角. 在图6.4-9中，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角.
如图6.4-9，具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 在图6.4-9中，∠2和∠7是内错角，∠4和∠7是同旁内角.
特别解读1. 同位角、内错角、同旁内角是成对出现的，一对边共线，另一对边不共线;2. 同位角、内错角、同旁内角的顶点不是公共的；3. 同位角的位置关系具有“同上、同左”“同上、同右”“同下、同左”“同下、同右”的特征；内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征；同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征.
2. 特别提醒 (1)同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下表：
(2)两条直线被第三条直线所截，得到八个角(简称“三线八角”)，在“三线八角” 中有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角.
如图6.4-10，下列结论中错误的是( )A. ∠1与∠2是同旁内角B. ∠1与∠4是内错角C. ∠2与∠5是内错角D. ∠3与∠5是同位角
解题秘方：紧扣同位角、内错角、同旁内角的定义分别判断即可得出结论.
解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项分析可知，∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠4是内错角，∠2与∠5不是内错角，∠3与∠5是同位角. 故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意.
1. 平行线的判定方法
特别解读平行作为两条直线的位置关系，与角的大小关系存在的内在联系：由角的数量关系(相等或互补)判断直线的位置关系(平行)，这里的数形结合，既是重要的知识内容，又是重要的数学思想.如尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线：教材例2 通过作一个角等于已知角，构造同位角相等作出平行线.
2. 判定两条直线平行时的注意事项(1)构成同位角(或内错角或同旁内角)的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，这两条直线才平行.(2)除了可以利用两直线平行的三个判定方法来判定平行线，还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 来判定.
如图6.4-11， 看图填空：(1)∠1的同位角是______，∠1的内错角是_________；(2)如果∠1＝∠2，那么___∥___，根据是_______________________；(3)如果∠4＝∠5，那么___∥___，根据是_______________________.
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
解题秘方：(1)根据同位角和内错角的定义和位置特征可知，∠1的同位角是∠3，∠1的内错角是∠2和∠6；(2)由∠1＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可得DE∥BC；(3) 由∠4＝∠5，根据“同位角相等，两直线平行”可得FG∥DC.
解题技巧1. 利用同位角、内错角相等判定两直线平行：(1)寻找与平行线相关的同位角或内错角；(2)看同位角或内错角是否相等，若相等，则两直线平行，否则不平行.2. 当图6.4-11中DE⊥AC，BC⊥AC时， 易得DE∥BC，所以平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
如图6.4-12，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，这是为 什么？
解题秘方：根据对顶角相等求出∠AOD的度数，再根据“同旁内角互补，两直线平行”判定AB∥CD.
解：因为∠AOD＝∠1(对顶角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因为∠A＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
思路点拨本题运用数形结合思想.平行线的判定是由角之间的数量关系到“形”的判定.要判定两条直线平行，可围绕截线找同位角或内错角或同旁内角，若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则两条直线平行.
1. 两直线平行，同位角相等两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.2. 几何语言：如图6.4-13， 如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
特别提醒两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.
[中考· 长沙]如图6.4-14，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为( )A. 65° B. 70°C. 75° D. 105°
解题秘方：紧扣平行线的性质定理1探求角的度数.
解：如图6.4-14，因为AB∥CD，∠BAE＝ 75°，所以∠1＝∠BAE＝75°(两直线平行，同位角相等).又因为AE∥CF，所以∠DCF＝∠1＝75°(两直线平行，同位角相等).
特别提醒利用平行线的性质定理1 解题时注意：看要求的角与已知角之间的位置关系，若是已知的两条平行线被第三条直线所截形成的同位角，可直接求出；若不是，寻找中间角进行转化.
1. 两直线平行，内错角相等两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.几何语言：如图6.4-15，如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等）.
特别提醒并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平行”的前提下，才有内错角相等.
2. 两直线平行，同旁内角互补两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.几何语言：如图6.4-16，如果a∥b(已知)，那么∠1＋∠2＝180 °(两直线平行，同旁内角互补).
特别提醒两直线平行时，同旁内角是互补的关系而不是相等的关系.
[模拟·宿迁]如图6.4-17，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为( )A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
解题秘方：紧扣“两直线平行，内错角相等”可以得到∠DAC＝∠1，再根据题目中∠1＝40 °，∠BAC＝80 °，结合平角的定义即可得到∠2的度数.
解：因为直线AD∥BC，∠1＝40°，所以∠DAC＝∠1＝40 °(两直线平行，内错角相等).又因为∠DAC＋∠BAC＋∠2＝180°，∠BAC＝ 80°，所以∠2＝180°－∠BAC－∠DAC＝180°－80°－40°＝60°.
方法点拨解答此类问题的关键是从复杂图形中识别出应用平行线的性质的基本图形，从而利用平行线的性质和已知条件计算.
如图6.4-18， 已知AB∥CF，CF∥DE， ∠1＝120°， ∠2＝105°， 求∠3的度数.
解题秘方：由“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠ACF，∠DCF的度数，再由平角的定义可求得∠3的度数.
解：因为AB∥CF，∠1＝120°，所以∠ACF＝180°－120°＝60° (两直线平行，同旁内角互补).因为CF∥DE，∠2＝105°，所以∠DCF＝180°－105°＝75°(两直线平行，同旁内角互补 ). 所以∠3＝180°－∠ACF－∠DCF＝180°－60°－75°＝45°.
技巧规律解决与平行线性质有关的计算题时，要能结合其他角(如对顶角、邻补角等)的相关性质，把待求的角与已知角联系起来.
平行线的判定及性质的区别
特别提醒解题时，若题中的“平行”是条件，则需要应用平行线的性质；若题中的“平行”是需要说明的结论，则应用平行线的判定.
如图6.4-19，若AB∥CD， 且∠1＝∠2， 试判断AM与CN的位置关系， 并说明理由.
解题秘方：利用已知的平行线和要说明的平行线的同位角之间的数量关系去推理说明.
解：AM∥CN. 理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠ACD(两直线平行，同位角相等 ).又因为∠1＝∠2，∠BAE＝∠1＋∠MAE，∠ACD＝∠2＋∠NCA，所以∠MAE＝∠NCA(等式的性质 ).所以AM∥CN(同位角相等，两直线平行 ).
方法提醒直线的位置关系和角的数量关系是紧密联系在一起的.由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到一组新的平行线.
如图6.4-20，∠BAE＋∠AED＝180°，∠M＝∠N， ∠1和∠2相等吗？试说明理由．
解题秘方：紧扣平行线的判定条件，可得AB∥CD，AN∥ ME，然后由平行线的性质定理2， 可得∠BAE＝∠AEC，∠NAE＝∠AEM，利用“等量减等量，差相等”即可说明∠1与∠2相等.
解：∠1＝∠2．理由：因为∠BAE＋∠AED＝180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．所以∠BAE＝∠AEC(两直线平行，内错角相等)．因为∠M＝∠N，所以AN∥ME(内错角相等，两直线平行)．所以∠NAE＝∠AEM(两直线平行，内错角相等)．所以∠BAE－∠NAE＝∠AEC－∠AEM，即∠1＝∠2．
如图6.4-21，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°，试判断∠AGF与∠ABC的大小关系，并说明理由.
解题秘方：紧扣平行线的判定与性质定理2，联系已知条件与图形进行说明.
解：∠AGF＝∠ABC. 理由：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠AFB＝∠AED＝90°.所以BF∥DE(同位角相等，两直线平行).所以∠2＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补).又因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1＝∠3(同角的补角相等).所以GF∥BC(内错角相等，两直线平行).所以∠AGF＝∠ABC(两直线平行，同位角相等).
思路点拨由DE⊥AC，BF⊥AC，得到∠AFB＝∠AED＝90°，则有BF∥DE，根据平行线的性质得∠2＋∠3＝180°，结合条件∠1＋∠2＝180°可得∠1＝∠3，推出GF∥BC，所以∠AGF＝∠ABC.