苏科版七年级数学上册 6.2 角（第6章 平面图形的初步认识 学习、上课课件）

这是一份苏科版七年级数学上册 6.2 角（第6章 平面图形的初步认识 学习、上课课件），共26页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，角的概念，知1－讲，知1－练，答案A等内容，欢迎下载使用。
角的概念角的表示方法角的度量、换算与运算补角、余角补角、余角的性质角的比较用直尺和圆规作一个角等于已知角角平分线方向角(拓展点)
2. 平角与周角在射线OA绕点O旋转一周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时，所成的角叫作平角，如图6.2-1；当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)重合时，所成的角叫作周角，如图6.2-2.
特别解读1. 构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线.2. 角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.3. 平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是一条射线.
下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与所画边的长短有关；③角的两边可以画得一样长， 也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤ 因为平角的两边成一条直线， 所以一条直线可看成是一个平角；⑥周角是一条射线.其中， 正确说法的个数为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解题秘方：紧扣角的概念中的关键词进行辨析.
解：① 是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的图形不是角；② 是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关；③ ④ 是正确的；⑤ 是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角有顶点和两边，它与直线不同；⑥是错误的，因为周角是由顶点和两条边构成的，不是一条射线. 故有2 个说法正确.
特别提醒1.判断角要按概念中的关键词进行识别：“静” 态要紧扣顶点、两边这些要素；“ 动”态要紧扣射线的始边、终边这些要素.2. 角的大小与所画边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量.
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种：
注意：角的符号应书写标准，“∠”不可与“∠2)，如图6.2-4 ① . 把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合.
(1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，如图6.2-4 ②它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的和，记作：∠BAC＝∠1＋∠2 .
(2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，如图6.2-4 ③它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的差，记作：∠GEH＝∠1－∠2.
特别提醒1.两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.2. 在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60 要进位，相减时要借1 当60.
(1)已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A (　　)∠B．A. > B. < C. ＝ D. 无法确定
解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方法进行求解.
解：30.45°＝30°＋0.45°＝30°＋(0.45×60)′＝30°＋27′＝30°27′．因为30°45′> 30°27′，所以30°45′> 30.45°.所以∠A>∠B.
高级单位化低级单位乘60
(2)[期末·扬州高邮市]单位换算： 56°10′48″＝______°.
低级单位化高级单位除以60
计算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″；(3)18°13′×5；(4)49°28′52″÷4.
解题秘方：利用有理数的运算法则，结合角的单位的换算和进制进行计算.
解：(1)27°26′＋53°48′＝80°74′＝81°14′.(2)90°－79°18′6″＝89°59′60″－79°18′6″＝10°41′54″.(3)18°13′× 5＝90°65′＝91°5′.(4)49°28′52″÷4＝12°＋88′52″÷4＝12°22′＋52″÷4＝12°22′13″.
方法提醒1．在进行角度的加减法运算时，先算秒，再算分，最后算度. 借和进都是六十进制，单位不统一时，先化统一，再计算.2．乘法运算先乘秒、分，再乘度，除法运算先除度，再除分、秒.
将量角器按图6.2-5 的方式放置， 其中角度为45° 的角是(　　)A. ∠AOB B. ∠BOC C. ∠COD D. ∠DOE
解题秘方：先根据量角器分别得出一条边是OE 的角的度数，然后利用角的和差关系进行计算．
解：由图6.2-5中量角器可知，∠EOD＝35°，∠EOC＝90°，∠EOB＝135°，∠EOA＝175°，所以∠DOC＝∠EOC－∠EOD＝90°－35°＝55°，∠BOC＝∠EOB－∠EOC＝135°－90°＝45°，∠AOB＝∠EOA－∠EOB＝175°－135°＝40°．
解题技巧利用量角器、三角板度量角进行计算的一般策略：(1)利用量角器(或三角板)读出各个角的度数；(2)根据角的和差关系，计算所求角的度数.如图6.2-6，一副三角板拼摆，则拼摆出的角的度数分别为75°，15°.
特别解读1.互补、互余 是指两个角之间的数量关系,它们是成对出 现的.2. 互补、互余只与数量有关，与位置无关.互补和互余揭示的是两个角之间的数量关系:一个锐角α的补角为180°－α，余角为90°－α.因此，一个角的补(余)角可以有多个.
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.
解题秘方：紧扣补角和余角的概念结合数量关系列方程解答.
解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).根据题意，得(180°－x)－3(90°－x)＝10°，解这个方程，得x＝50°.所以这个角的度数为50°.
思路点拨解答此类题一般先用未知数表示出所求角的度数，再列方程求解.
如图6.2-7，点O为直线AB上一点， ∠AOC＝∠DOE＝90°.
解题秘方：由已知条件，结合余角、补角的定义解答.
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
解：因为点O为直线AB上一点，所以∠BOC＋∠AOC＝180°.因为∠AOC＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，∠BOC＝90°. 所以∠3＋∠4＝90°. 又因为∠DOE＝90°，所以∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°.所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：由已知，得∠1＋∠BOD＝180°，∠4＋∠AOE＝180°. 由(1)易知∠1＝∠3，∠2＝∠4 .所以∠3＋∠BOD＝180°，∠2＋∠AOE＝180°.又因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＋∠DOE＝180°，∠DOE ＋∠BOC＝180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE， ∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC .
方法总结从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面从角的度数入手，度数之和为90°的两个角互余，度数之和为180°的两个角互补.注意，互余或互补的角不一定都是相邻的两个角；另一个方面从整体入手，由直角分成的两个角互余，由平角分成的两个角互补.最后要结合角的数量关系，利用相等的角进行代换，即可找出所有互余或互补的两个角.
特别解读1．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2．“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角.3．补角、余角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图6.2-8，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠ 1＋∠ 2＝180°. 找出图中与∠2相等的角， 并说明理由.
解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角.
解：∠3，∠4，∠6 . 理由如下：因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2.因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6 .
特别提醒“∠3＝180°－∠1，∠2＝180°－∠1”，此步骤可以省略不写，书写余角、补角的性质符号语言时，不需要再书写等式的性质的符号语言.
1. 角的比较方法 度量法和叠合法.(1)度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
(2)叠合法 把要比较的两个角叠合在一起，使它们的顶点和一条边分别重合，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图6.2-9.
特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.
2. 角的大小关系对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α< ∠β, ∠α＝∠β，∠α> ∠β.
特别解读角的大小比较可从数、形两个角度进行比较：(1)“数”的角度:角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.(2)“形”的角度:角的开口越大，角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法来比较角的大小.
(1)如图6.2-10 所示的网格是正方形网格， 则∠ABC____∠DEF； ( 填“>” “=” 或“∠DEF，所以∠ABC >∠DEF .
(2)在平面内，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，求∠AOC的度数.
解题秘方：画出满足条件的几何图形，利用角的和差关系求角的度数
解：分两种情况进行讨论：①当∠BOC在∠AOB的外部时，如图6.2-11 ① ，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋40°＝110°；②当∠BOC在∠AOB的内部时，如图6.2-11 ② ，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－40 °＝30°.综上所述，∠AOC的度数为110° 或30°.
方法点拨1. 通常具有公共边的两个不相等的角的位置关系有两种：(1)较小的角在较大的角的内部；(2)较小的角在较大的角的外部.2. 在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形.
用直尺和圆规作一个角等于已知角
尺规作图：如图6.2-12，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB .
特别提醒1. 作图与画图是两个不同的概念.作图规定只准用无刻度的直尺和圆规为工具；画图则不受工具限制, 除了直尺、圆规外,还可以用三角尺、刻度尺、量角器等.2. 用一副三角尺只能画出一些特殊度数的角，如15°的倍数的角.3. 尺规作图中的直尺是没有刻度的，因此要截取线段的长，只能用圆规截取.
尺规作图：如图6.2-13，已知∠α，∠β，求作∠ABC， 使得∠ABC ＝∠α－∠β. (不写作法， 但要保留作图痕迹)
解题秘方：在∠α的内部作∠β，即可得∠α－∠β.
解：如图6.2-14，∠ABC为所作．
方法点拨1.根据作等角的尺规作图方法，先作∠ABD＝∠α，再在∠ABD内部作∠DBC＝∠β，则∠ABC满足条件．2. 若求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α＋∠β. 先作∠ABD＝∠α，再在∠ABD外部作∠DBC＝∠β，则∠ABC满足条件．3. 若求作∠ABC，使得∠ABC＝2∠α－∠β．先作∠ABD＝∠α＋∠α，再在∠ABD内部作∠DBC＝∠β，则∠ABC满足条件．
1. 概念如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线.
3. 拓展角的n等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等.
特别提醒1. 角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.2. 角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.
如图6.2-16，OC是∠AOD的平分线， OE是∠BOD 的平分线.
(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
解题秘方：利用角平分线的概念及角的和差关系，将要求的∠COE向已知的∠AOB进行转化，找出它们之间的数量关系；
(2)在(1)的条件下，如果∠DOC＝20°，那么∠BOE是多少度？
解题秘方：先求出∠DOE的度数，再求∠BOE的度数.
解：由(1)可知∠COE＝65°. 因为∠DOC＝20°，所以∠DOE＝∠COE－∠DOC＝45°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝4 5°.
方法提醒1．利用角平分线的概念进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表示方法.2．在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角.3．本题求∠COE的度数，不是采取“逐角求”的方法，而是采取“整体思想”找出∠COE与∠AOB之间的数量关系.
如图6.2-17，O为直线AB上一点， ∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠EOD＝90°.
(1)求∠BOD的度数；
解题秘方：利用∠BOD＝∠BOC＋∠DOC求解即可；
(2)小明发现OE平分∠BOC， 请你通过计算说明理由.
解题秘方：分别求出∠COE和∠BOE的度数即可.
解：因为∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，所以∠COE＝∠DOE－∠DOC＝90°－25°＝65°.又因为∠BOE＝∠BOD－∠DOE＝155°－90°＝65°，所以∠COE＝∠BOE，即OE平分∠BOC .
1. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角). 如图6.2-18 ①，图中的点O是观测点，射线OA的方向是北偏东30°；射线OB的方向是北偏西65°；射线OC的方向是南偏西25°.
2. 特殊方向角(1)如图6.2-18 ②，东北方向表示以正北方向为起始方向，向东旋转45° 时的射线的方向，又叫北偏东45°；(2)东南方向为南偏东45°；(3)西南方向为南偏西45°；(4)西北方向为北偏西45°.
特别提醒1．在平面图上方向为“上北、下南、左西、右东”.2．方向角大都用射线与正北或正南方向的夹角来表示，所以把南或北写在前，把东或西写在后，用两个方向表示.3．正东、正西、正南、正北以及东北、东南、西南、西北方向不需要用角度来表示.
[中考·益阳] 如图6.2-19，PA，PB表示以P为起点的两条公路， 其中公路PA的走向是南偏西34°， 公路PB的走向是南偏东56°， 则这两条公路的夹角∠APB＝________°.
解题秘方：紧扣方向角的概念，确定出所求角与方向角的关系即可解答.
解：根据题意，得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，所以∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90°.
方法点拨在方向标中，南北线和东西线的夹角等于90°.如图6.2-20，OA，OB的方向分别是北偏东20°、南偏西50°，则∠AOB＝20°＋90°＋(90°－50°)＝150°．