人教版七年级数学上册 6.3角（第六章 几何图形初步 自学、复习、上课课件）

这是一份人教版七年级数学上册 6.3角（第六章 几何图形初步 自学、复习、上课课件），共26页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，角的定义，••••，•••••，答案A等内容，欢迎下载使用。
角的定义角的表示方法角的单位及换算方位角
2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角叫作周角，如图6.3－2 .
可逆时针，也可顺时针.
特别解读1.构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线.2.角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.3.平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是一条射线.
下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与所画边的长短有关；③角的两边是两条射线；④因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角.其中，说法正确的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：利用角的相关概念进行几何语言辨析时，关键要扣住概念中的关键词，如“公共端点”“射线”等关键词. 对于关键词不能漏掉，还要体会其含义.
解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关；③是正确的；④是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角有顶点和两边，它与直线不同.故说法正确的有1 个.
1-1.下列语句正确的是________(只填序号).①延长一个角的两边；②周角是一条射线；③反向延长射线OA 就得到一个以点O 为顶点的平角；④角的两边的长短决定角的大小．1-2. 小明用放大镜(10倍放大功能)观察10°的角，小明看到的角是________.
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种
注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“28 .15°，所以28°15 ′大.
诊误区：两个角度比较大小时，若单位没有统一，需要先统一单位，再比较不能凭直观去比较.
[中考·临沂]如图6.3－10，用量角器测得∠ ABC 的度数是(　　)A.50° B.80° C.130° D.150°
试题评析：本题考查角度的测量，解题关键是掌握量角器测量的基本技能.
解：根据∠ ABC 起始位置BA 及另一条边BC 可得∠ ABC＝130°.
利用角的单位换算进行角度的转化
[中考·兴安盟] 74° 19′ 30″=_______ °.
试题评析：本题考查度、分、秒之间的相互转化，解题的关键是掌握角的单位之间的进制.
1. [新考法 数学判断法]如图，已知∠ AOB ＝80 °，借助量角器判断，射线OA 可能经过的点是(　　)A.P 点 B.Q 点 C.M 点 D.N 点
2. [期末·北京房山区]下列图形中能用∠ 1，∠ AOB，∠ O 三种方法表示同一个角的图形是(　　)
3.[期中·秦皇岛青龙县]下列说法中，正确的是(　　)A. 一个周角就是一条射线B. 平角是一条直线C. 角的两边越长，角就越大D. ∠ AOB 也可以表示为∠ BOA
4. [期末·上海长宁区]下列各图中，射线OA 表示北偏西30°方向的是(　　)
5.31. 24°=_____°_____′_____″.
6. [母题 教材P172练习T3(2)]比较大小：52°15 ′　_____52.25°(填“＞”“＜”或“＝”).
7.[期末·武汉青山区]第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的1 2 月1 3 日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日. 上午9 点3 0 分进行公祭仪式时，钟面上时针与分针夹角的度数是______度.
8. 如图，写出全部符合条件的角.
(1)能用一个大写字母表示的角；
解：能用一个大写字母表示的角是∠B.
(2)能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示出来；
解：能用一个数字表示的角是∠1和∠2，∠1可用∠ABD(或∠ABC或∠ABE或∠B)表示，∠2可用∠CAD表示．
(3)以D 为顶点且小于平角的角；
解：以D为顶点且小于平角的角有∠ADC(或∠ADE)和∠ADB.
(4)以A 为顶点的角.
解：以A为顶点的角有∠BAD，∠DAC(或∠2)和∠BAC.
9. 在图中，画出下列方向的射线.(1)射线OA：南偏东60°；(2)射线OB：北偏东30°；(3)射线OC：西南方向.
解：(1)(2)(3)如图所示．
10. [新视角 操作探究题]钟面角是指时钟的时针与分针所成的角. 如图，在钟面上，点O 为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆. 为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA 表示时针，半径OB 表示分针，它们组成的钟面角为∠ AOB. 本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0 时到12 时之间.
(1)时针每分钟转动的角度为______°，分针每分钟转动的角度为 °______；(2)8 时整，钟面角∠ AOB=______°，钟面角与此相等的整时还有_____时；
(3)在图中画出6 时15 分时半径OA，OB 的大概位置，并求出此时∠ AOB 的度数.
解：如图，∠AOB＝3×30°＋15×0.5°＝97.5°.
6．3　角6．3.2　角的比较与运算
角的大小比较角的和、差角平分线
特别解读1. 度量法是从“数”的角度比较大小，叠合法是从“形”的角度比较大小.2.比较角的大小也可用估测法：直接通过观察，比较角的大小，此方法较为直观，但不精准，仅适用于角度差别较大的角的大小比较.
特别提醒使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.
根据图6.3－11，完成下列操作：
解题秘方：利用角的两种比较大小的方法比较角的大小.
(1)比较∠FOD与∠BOD的大小；
解：∠ FOD 与∠ BOD 有重合边和重合顶点，且射线OF 在∠ BOD 的内部，根据叠合法可知∠ FOD< ∠ BOD.
(2)比较∠AOD与∠BOD的大小；
解：由图可知，∠ AOD 是钝角，∠ BOD 是锐角，所以∠ AOD> ∠ BOD.
(3)借助量角器比较∠ AOE 与∠DOF的大小.
解：用量角器量得∠ AOE=3 0°，∠ DOF=3 0°，所以∠ AOE= ∠ DOF.
方法点拨：比较角的大小的方法：用叠合法比较角的大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧．两边都不重合，或有一边重合但另—边在重合边的异侧的两角，可通过度量法比较大小.
1-1. 如图，用同样大小的三角板比较∠ A 和∠ B 的大小，下列判断正确的是(　　)A．∠ A ＞∠ BB．∠ A ＜∠ BC．∠ A ＝∠ BD．没有量角器，无法确定
特别解读1. 两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.2. 在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60 要进位，相减时要借1 当60.
计算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″.
解题秘方：利用有理数的运算法则，结合角的单位的换算方法和进制进行计算.
解：(1)2 7°2 6′＋5 3°4 8 ′=8 0°74′=81°14′.
(2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°4 1′5 4″.
2－1.计算：(1)33 °16′28 ″ ＋24°46′37″．(2)180°－(35°54′＋21°33′)．
解：33°16′28″＋24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；
180°－(35°54′＋21°33′)＝179°60′－57°27′＝122°33′.
如图6.3－12，回答下列问题.
解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系.
(1)∠ AOC 是哪两个角的和？
解：∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC.
(2)∠ AOB 是哪两个角的差？
∠ AOB= ∠ AOD－ ∠ BOD= ∠ AOC－ ∠ BOC.
(3)如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠DOB相等吗？为什么？
解：相等. 因为∠ AOB= ∠ COD，所以∠ AOB＋ ∠ BOC= ∠ COD＋ ∠ BOC，即∠ AOC= ∠ DOB.
3-1.在所给的：① 15 °，②65°，③75°，④135°，⑤ 145°角中，可以用一副三角尺画出来的是( )A. ②④⑤ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④
如图6.3－13，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起.
解题秘方：此题考查角的计算问题，关键是记忆三角尺各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差.
(1)若∠ DCE=35°，求∠ ACB 的度数；
解：由题意得，∠ ACD=9 0°，∠ ECB=9 0°.因为∠ DCE=35°，∠ ACE= ∠ ACD－∠ DCE.所以∠ ACE=55°.又因为∠ ACB= ∠ ACE＋ ∠ ECB，所以∠ ACB=55°＋90°=145°.
(2)若∠ ACB=140°，求∠ DCE 的度数.
解：因为∠ ACB= ∠ DCB＋ ∠ ACD=140°，所以∠DCB=140°－90°=50°.又因为∠DCE= ∠ECB－ ∠ DCB，所以∠DCE=90°－50°=40°.
4-1.如图，已知∠ AOC=∠ BOD=90°，∠ AOD=150 °，则∠ BOC 的度数为(　　)A．30° B．45°C．50° D．60°
2. 角的n 等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n 个角，叫作角的n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等.
特别解读1. 角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.2.角的平分线只有一条，而角的n 等分线有(n－1)条.
如图6.3－14，OC 是∠ AOD 的平分线，OE 是∠ BOD的平分线.
解题秘方：利用角平分线的定义及角的和差关系，将要求的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数量关系进行解答.
(1)如果∠ AOB=130°，那么∠ COE 是多少度？
(2)在(1)的条件下，如果∠DOC=20 °，那么∠ BOE 是多少度？
解：由(1)可知∠ COE=6 5°.因为∠DOC=20°，所以∠DOE= ∠ COE－ ∠DOC=45°.因为OE 平分∠ BOD，所以∠ BOE= ∠ DOE=4 5°.
5-1.[期末·北京东城区]如图，OC 是∠ AOB 的平分线，∠ COD=20°.
(1)若∠ AOD=30 °，求∠ AOB 的度数；
解：因为∠COD＝20°，∠AOD＝30°，所以∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝20°＋30°＝50°.因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB＝2∠AOC＝100°.
(2)若∠BOD =2 ∠ AOD，求∠AOB的度数.
如图6.3－15，O 为直线AB 上一点，∠ AOC=50°，OD平分∠ AOC，∠EOD=90°
(1)求∠BOD的度数；
解题秘方：利用∠ BOD= ∠ BOC＋ ∠ DOC 求解即可；
(2)小明发现OE 平分∠ BOC，请你通过计算说明理由.
解题秘方：分别求出∠ COE 和∠ BOE 的度数即可.
解：因为∠ DOE=90°，∠ DOC=25°，所以∠COE= ∠DOE－∠ DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE= ∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠ COE= ∠ BOE，即OE 平分∠ BOC.
6-1.如图，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4，则下列结论正确的有( )① AD 平分∠ BAE；② AF 平分∠ EAC；③ AE 平分∠ DAF；④ AF 平分∠ BAC；⑤ AE 平分∠ BAC.A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
计算：(1)62°24′17″×4； (2)107°45′÷5．
解：62°24′1 7 ″×4 =248°96′6 8 ″ =249°37′8″.
107°45′÷5=(107 °÷5)＋(45′÷5)=21.4°＋9′=21°＋0.4×6 0′＋9′=21°33 ′．
7-1.计算：(1)24 ° 31 ′×4 －62°10′；(2)64 ° 15 ′÷5＋12°25′×3.
解：原式＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′；
原式＝12°51′＋37°15′＝50°6′.
如图6.3－16，已知∠ BOC=2 ∠ AOC，OD 平分∠ AOB 且∠ AOC=40°，求∠COD的度数.
直接利用和差倍分关系计算角的度数
方法点拨角之间的和差倍分的度数，就是它们度数的和差倍分.
[期中· 烟台莱州市]下列各小题中，都有OE 平分∠ AOC，OF 平分∠ BOC．
利用整体思想求角的度数
(1)如图6.3－17 ①， 若点A，O，B 在一条直线上，∠ EOF=______ .
(4)如图6.3－17 ③，若OA 在∠ BOC 的内部，∠ AOB 和∠ EOF 还存在上述的数量关系吗？请简单说明理由.
解题策略在求角度的过程中，若发现该角分成的几个角的度数无法直接求出(或直接求出非常复杂)，可考虑用整体思想，分析要求的角度整体上与已知的角度存在的数量关系.
模型解读双角平分线模型：
[期末· 烟台栖霞市]如图6.3－18，已知∠ AOC ∶∠BOC=1∶3，∠AOD：∠BOD=5∶7，若∠COD=15 °，求∠ AOB 的度数．
利用方程思想求角的度数
解题秘方：根据∠ AOD－ ∠ AOC= ∠ COD=1 5 ° 设出合适未知数，列方程求解.
解题策略当很难直接找到已知角和所求角的联系时，可以考虑逆向思维，设出其中关键角的度数，以某个已知角的度数作为“桥梁”，写出相等关系，建立方程模型来解决问题.
[期末· 新乡长垣市]已知O 是直线AB 上的一点，∠COD是直角，OE 平分∠ BOC．
利用代数思想探究角的规律
初步尝试：(1)如图6.3－19 ①，若∠ AOC ＝ 30°，求∠DOE的度数.
类比探究：(2)在图6.3－19 ①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α 的代数式表示).
解决问题：(3)如图6.3－19 ②，O 是直线AB 上的一点，∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC，探究∠ AOC 和∠ DOE 的度数之间的数量关系.
解：因为OE 平分∠ BOC，所以∠ COB=2 ∠ COE，所以∠ AOC=180 ° － ∠ COB=180 ° －2 ∠ COE=2(90°－ ∠COE).因为∠ COD 是直角，所以∠ DOE=90°－ ∠COE，所以∠ AOC=2 ∠ DOE．
方法点拨所谓“代数思想”，如本题在探究几何问题时，运用角平分线的定义及角的和差关系直接探究较复杂，而将角的和差关系转化为代数中的整式运算去解决则变得很简单，我们把这种解题思想称为“代数思想”.
忽视角的位置关系而出错
在平面内，已知∠ AOB=70 °，∠ BOC=40 °，求∠ AOC 的度数.
错解：∠AOC= ∠AOB＋∠BOC=70°＋40°=11 0°.
正解：分两种情况进行讨论：(1)当∠ BOC 在∠ AOB 的外部时， 如图6.3－20 ①，∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=70°＋ 40°=110°；(2)当∠ BOC 在∠ AOB 的内部时， 如图6.3－20 ②，∠ AOC= ∠ AOB－ ∠ BOC=7 0°－ 4 0°=3 0°.综上，∠ AOC 的度数为110°或3 0°.
诊误区：1. 通常具有公共边的两个不相等的角的位置关系有两种：(1)较小的角在较大的角的内部；(2)较小的角在较大的角的外部.2.在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形.
利用角平分线求角的度数
[中考·乐山]如图6.3－21，点O在直线AB 上，OD 是∠ BOC 的平分线，若∠ AOC=140 °，则∠ BOD 的度数为_______.
试题评析：本题考查角的运算，掌握平角及角平分线定义是解题关键.
试题评析：本题考查利用方程思想求角的度数，解题的关键是利用图形中角的关系列出方程.
1.[期末·泰安岱岳区]在∠ AOB 内取一点C，作射线OC，则下列结论一定成立的是(　　)A. ∠ AOC= ∠ BOCB. ∠ AOC ＞∠ BOCC. ∠ BOC ＞∠ AOCD. ∠ AOB ＞∠ AOC
2. [期末· 襄阳襄城区]如图，点O 在直线AB 上， 射线OC 平分∠ DOB.若∠ COB=35 °，则∠ AOD 等于(　　)A.110° B.145°C.35° D.70°
3. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于A 点处(两块三角尺看成在同一平面内)，下列结论一定成立的是(　　)A. ∠ BAE－ ∠ CAD=90°B. ∠ EAC ≠∠ BADC. ∠ BAD= ∠ CAED. ∠ BAE＋ ∠ CAD=90°
4.[期末·南京秦淮区]如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α ，β ，γ 三个角的数量关系为(　)A.α ＋β ＋γ =9 0°B.α ＋β －γ =9 0°C.α －β ＋γ =9 0°D.α ＋2β －γ =9 0°
5. 如图，已知M是直线AB 上一点，∠ AMC=54 °48′，∠BMD=64 °19′，则∠CMD=_______.
7. 计算：(1)53°39 ′38 ″＋26°28 ′17 ″；(2)53°25 ′3″×5 .
解：53°39′38″＋26°28′17″＝80°7′55″；
53°25′3″×5＝53°×5＋25′×5＋3″×5＝265°＋125′＋15″＝267°5′15″.
8. 如图，OD，OE 分别是∠ AOC 和∠ BOC 的平分线，且∠ DOE=90 °，请问：A，O，B 三点在同一条直线上吗？为什么？
解：A，O，B三点在同一条直线上．理由如下：因为OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOC＝2∠COD，∠BOC＝2∠COE.因为∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝90°，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠DOC＋2∠EOC＝2∠DOE＝180°.所以A，O，B三点在同一条直线上．
10. 如图，O 为直线AB 上一点，将直角三角尺的直角顶点放在点O 处. 已知∠ AOC 的度数比∠ BOD 的度数的3倍多10°.
(1)求∠ BOD 的度数；
解：设∠BOD＝x°，则∠AOC＝3x°＋10°.因为∠BOD＋∠COD＋∠AOC＝180°，所以x°＋90°＋3x°＋10°＝180°.所以x＝20.所以∠BOD＝20°.
(2)若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠ EOF 的度数．(写出必要的推理过程)
11. 如图，∠AOB是直角，∠AOC=40 °，ON 是∠ AOC 的平分线，OM 是∠ BOC 的平分线.
(1)求∠ MON 的大小；
(2)当锐角∠ AOC 的大小发生改变时，∠ MON 的大小是否发生改变？为什么？
6．3　角6．3.3　余角和补角
余角和补角的定义余角、补角的性质
特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角的余角为90°－ ，补角为180°－ .因此，一个角的余(补)角可以有多个.
已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大10°，求这个角的度数.
解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答.
解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为(180 °－x)，余角为(90°－x).根据题意，得(180°－x)－3(9 0°－x)=1 0°，解得x=5 0°.所以这个角的度数为5 0°.
1-1. 如图，∠AOC 与∠BOC 互为补角，∠BOC 与∠BOD 互为余角，且∠BOC=4 ∠BOD.
(1)求∠BOC 的度数；
(2)若OE 平分∠AOC，求∠BOE 的度数.
如图6.3－23，O 为直线AB 上一点， ∠AOC=∠DOE=90°.
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
解：因为O 为直线AB 上一点，所以∠BOC＋ ∠AOC=180°，∠DOE＋ ∠1＋∠4 =180°.因为∠AOC= ∠DOE=9 0°，所以∠1＋∠2=90 °，∠2＋∠3=90 °，∠BOC=∠3＋∠4=90°，∠1＋∠4=90°.所以图中互余的角有4 对，分别是∠1 和∠2，∠2 和∠3，∠3 和∠4，∠1 和∠4 .
(2)图中互补的角有几对？分别是哪些？
解：由已知得∠1＋ ∠BOD=180°，∠4＋ ∠AOE=180°.因为∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3＋ ∠BOD=1 80°.因为∠3＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠2=∠4 .所以∠2＋∠AOE=1 8 0°.
又因为∠AOC＋ ∠BOC=180 °，∠AOC＋ ∠DOE=180 °，∠DOE＋∠BOC=1 8 0°，所以图中互补的角有7 对，分别是∠1 和∠BOD，∠4 和∠AOE，∠3 和∠BOD，∠2 和∠AOE，∠AOC 和∠BOC，∠AOC 和∠DOE，∠DOE 和∠BOC.
2-1.[期末· 襄阳] 如图，已知A，O，B 三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE 平分∠AOD，下列结论：①∠BOC 与∠AOE 互余；②∠BOE 与∠EOD 互补；③图中互余的角有4 对；④图中互补的角有5 对.其中正确的有(　　)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
特别解读1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2 .“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图6.3－24，直线AB 与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋ ∠2=180°. 找出图中与∠2 相等的角，并说明理由.
解题秘方：先找出与∠1 和∠2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2 相等的角.
解：因为∠1＋∠3=1 8 0°，∠1＋∠2 =180°，所以∠3= ∠2 .同理，∠4 =∠2，∠2 =∠6.所以图中与∠2 相等的角有∠3，∠4，∠6.
3-1. 如图，O 为直线AB上一点，OC 平分∠AOB，∠DOE=90°.
(1)写出∠COD的余角；
解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.
(2)∠AOD 和∠COE相等吗？为什么？除90 °的角外，还有哪些相等的角？请说明理由；
解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因为∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°，所以∠AOD＝∠COE.相等的角还有∠BOE＝∠COD.理由：因为∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°，所以∠BOE＝∠COD.
(3)写出∠COD 的补角.
解：∠COD的补角为∠AOE.
如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：先紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等.
解： OE 平分∠BOC. 理由如下：因为∠DOE=9 0°，所以∠DOC＋ ∠COE=9 0°.又因为∠AOB=180°，所以∠AOD＋ ∠BOE=90°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD= ∠DOC.所以∠COE= ∠BOE，即OE 平分∠BOC.
4-1.[期末·厦门思明区]如图，∠AOB=90 °，∠COD=90°，OA 平分∠DOE， 若∠BOC=20°，求∠AOE 的度数.
解：因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC＝20°.因为OA平分∠DOE，所以∠AOE＝∠AOD＝20°.
利用互余、互补的定义识别余角、补角
解题秘方：分别计算∠2 与各选项的和，结果为9 0°的符合要求.
方法点拨识别两个角是否互余，只需要计算两个角的和是否等于90°即可.
[新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B′的位置，折痕为EF，再沿GF 折叠，使点C 落在点C′的位置，如果C′F 与FB′在同一条直线上，请你判断∠GFC′与∠EFB′的关系，并说明理由.
利用角平分线的定义探究互余、互补
方法点拨本题的解题方法主要利用了“一个特点”“三个定义”，一个特点是指折叠图形中折痕的特点(折痕所在的直线即角平分线所在的直线)；三个定义分别是指角平分线的定义、余角的定义和补角的定义.
[荣德原创题]两艘货轮从如图6.3－27所示的码头O 出发，货轮G 向南偏西20°的OA 的方向行驶，货轮F 向南偏东70°的OB 方向航行.
利用方位角的定义探究余角、补角
思路引导：通过计算各角的度数进行判断.
(1)分别画出射线OA，OB；
解：如图6.3－28 ，射线OA，OB 即为所求.
(2)找出图中所有互余和互补及相等的角(小于180°的角).
解：互余的角有∠WOA 与∠SOA，∠WOA 与∠EOB，∠AOS 与∠BOS，∠BOS 与∠EOB；互补的角有∠WOA 与∠EOA，∠WOB 与∠EOB，∠NOA 与∠SOA， ∠NOB 与∠SOB， ∠WOA 与∠NOB，∠BOS 与∠AOE，∠WOB 与∠AOS，∠NOA 与∠EOB. ∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE 和∠AOB 都是90°，它们两两互补；相等的角有∠NOW= ∠SOW= ∠SOE= ∠NOE=∠AOB，∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB.
解法提醒1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成平角，可以解决互补问题.2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成直角，可以解决互余问题.3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决等角问题.
如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点О 处.
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
思路引导：紧扣要判定的角和两个90 °角的关系进行分析.
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：因为∠AOB= ∠COD=9 0°，所以∠AOB＋ ∠BOD= ∠COD＋ ∠BOD，即∠AOD= ∠BOC.
(ⅱ)∠AOC 和∠BOD在数量上有何关系？请说明理由．
解：∠AOC＋ ∠BOD=1 8 0°.理由如下:因为∠AOB＋ ∠AOC＋ ∠COD＋ ∠BOD=360°，∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.
(2)若将这副三角尺按如图6.3－29 ②所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点О处. (ⅰ)∠AOD和∠BOC相等吗？请说明理由. (ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由.
(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：因为∠AOB= ∠COD=9 0°，所以∠AOB－ ∠BOD= ∠COD－ ∠BOD，即∠AOD= ∠BOC.(ⅱ)成立. 理由如下:因为∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AOC＋ ∠BOD= ∠AOB＋∠BOC＋ ∠BOD= ∠AOB＋ ∠COD=90°＋90°=180°.
解题关键1.在探究三角尺中的有关角的关系时，要充分利用三角尺中隐含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠ 1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
方法点拨：在图形的变换探究中，应善于抓住不变的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结合两个量才能探究出结论是否变化.
对余角、补角的概念理解不透彻而出错
下列说法正确的是( )A. 一个角的补角一定大于这个角B. 任何一个小于180°的角既有余角又有补角C. 锐角和钝角互补D. 锐角的补角一定是钝角
正解：紧扣余角和补角的定义，结合其数量关系进行判断. 锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从而A 错误，D 正确.
诊误区：1.只有锐角既有余角又有补角，而钝角没有余角，只有补角.2.互补的两个角除两个直角外，一定是一个锐角，一个钝角.
利用余角(补角)的定义求一个角的余角(补角)
[中考·梧州] 已知∠ A=55 °，则它的余角是( )A.25° B.35° C.45° D.55°
试题评析：本题考查了余角的定义和角的运算，解题的关键是理解互为余角的两个角的数量关系.
解：因为∠A=55°，所以它的余角是90 °－ ∠ A=90 °－55°=35°.
利用三角尺的特征探究两个角之间的关系
[中考·德州]如图6.3－30，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中，∠α 与∠β 互余的是(　　)A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
试题评析：本题考查了余角和补角的知识，熟记概念与性质是解题的关键.
解：图①，∠α ＋ ∠β =180°－90°=90°，则∠α 和∠β 互余；图②，根据同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α 和∠β 不一定互余；图③，根据等角的补角相等，得∠α = ∠β =180°－45°=135°，所以∠α与∠β 不互余；图④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补．
1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是(　　)A.13 0 ° B.110 ° C.30 ° D. 20 °
2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α 与∠β 一定相等的图形个数共有(　　)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3. 下列说法错误的是(　　)A.53°38 ′角与36°22 ′角互为余角B. 如果∠1 ＋ ∠2 =180 °，那么∠ 1与∠ 2 互为补角C. 两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角D. 一个角的补角比这个角的余角大180°
4. [中考·通辽] 如图，点O 在直线AB上，∠ AOC=53 °17′2 8 ″，则∠ BOC 的度数是____________．
5. [母题 教材P177例4 如图，AB 是直线，∠ BOC=∠ AOC=90 °，OD，OE 是射线，则图中至少有______对互余的角， ______对互补的角.
8. 如图，点O 是直线CE 上一点，以O 为顶点作∠ AOB=90 °，OB 平分∠ COD.
(1)当∠ DOE=96 ° 时，求∠ AOC 的度数；