2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二下学期期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二下学期期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=a2−4+(a−2)i是纯虚数，则实数a=( )
A. 0B. ±2C. 2D. −2
2.已知集合M=−2,−1,0,1,2，N=xx2−x−6≥0，则M∩N=( )
A. −2,−1,0,1B. 0,1,2C. −2D. 2
3.已知圆M的圆心在曲线xy=2(x>0)上，且圆M与直线x+2y+1=0相切，则圆M面积的最小值为( )
A. 5πB. 2 5πC. 5πD. 10π
4.已知▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,C=π4，▵ABC的面积S=2，则▵ABC的外接圆的半径为( )
A. 4 5B. 2 5C. 5 2D. 5 22
5.已知定义域为R的函数fx，∀x1，x2∈R，x12，所以fπ0，A为锐角，cs2A=2cs2A−1=18=csC，因为A,C都为锐角，所以C=2A， B正确．
故选：BD．
12.【答案】0,1e2
【解析】【分析】利用函数的单调性可得分段fx在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域即可．
【详解】因函数y=x+a在−∞,a和y=lnx+2在a,+∞a>0均为增函数，
则这两个函数在对应区间上的零点均至多有1个，
因fx有两个不同的零点，
则函数y=x+a在−∞,a和y=lnx+2在a,+∞上分别有1个零点，
令x+a=0，得x=−a，则−a≤a，即a≥0；
令lnx+2=0，得x=1e2，则a0，则a∈0,1e2．
故答案为：0,1e2
13.【答案】4
【解析】【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值．
【详解】设等比数列an的公比为q，则an=a1qn−1，
则a1a3a11=a1⋅a1q2⋅a1q10=8，即a13q12=8，所以a1q4=2，即a5=2．
所以a2a8=a1q⋅a1q7=a12q8=a1q42=a52=4．
故答案为：4．
14.【答案】0.6或35 ； ； ；
；0.6或35
【解析】【分析】根据两点分布求解概率PX=1及数学期望EX即可．
【详解】随机变量X服从两点分布，PX=1−PX=0=0.2，
根据两点分布概率性质可知：PX=1−PX=0=0.2PX=1+PX=0=1,
解得PX=1=0.6，所以EX=0×0.4+1×0.6=0.6．
故答案为：0.6；0.6．
15.【答案】解：(1)在[40,80)内的成绩占比为0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10=0.70.8，
因此第80百分位数在[80,90)内，80+10×0.8−−0.7=84，
所以估计第80百分位数约是84．
(2)成绩不低于80分的频率为(0.025+0.005)×10=0.3，
则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：0.3×40100×800=96，
所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人．

【解析】【分析】(1)根据给定的频率分布直方图，结合第80百分位数的意义求得答案．
(2)求出成绩不低于80分的频率，估计高二年级男生中“优秀”等级的人数．
16.【答案】解：(1)∵Sn=n2，∴当n≥2时，1an=Sn−Sn−1=2n−1，
又S1=1，1a1=1，满足；
即1an=2n−1，an=12n−1．
(2)∵anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴a1a2+a2a3+⋯+anan+1=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，
∴n2n+1>1633，解得n>16，∴nmin=17，
即正整数n的最小值为17．

【解析】【分析】(1)利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2的关系式，可求出1an的通项，进一步可得到an通项．
(2)写出数列anan+1的通项公式，利用裂项相消法求得anan+1的前n项和，依题解方程即得正整数n的值即可．
17.【答案】解：(1)
取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E为PD的中点，
所以EF//AD,EF=12AD，
因为AD//BC,AD=2BC，
所以EF//BC,EF=BC，
所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC//BF．
又BF⊂平面PAB,EC⊄平面PAB，
所以EC//平面PAB．
(2)
因为AB⊥AD,PA⊥平面ABCD，即AB,AD,AP两两垂直，
故可以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A0,0,0,P0,0,2,D0,2,0,C1,1,0，
因为PE=2ED，所以E0,43,23，
所以AC=1,1,0,AD=0,2,0,AE=0,43,23.
设平面EAC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AC=x+y=0n⋅AE=43y+23z=0
取y=1，得x=−1,z=−2，
所以n=−1,1,−2．
因为AB⊥AD,AP⊥AD,AB∩AP=A,AB,AP⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
所以AD=0,2,0为平面PAB的一个法向量．
设平面EAC与平面PAB的夹角为θ，
则csθ=csn,AD=n⋅ADn⋅AD=22 6= 66．
所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为 66．

【解析】【分析】(1)通过线线平行即可证得线面平行；
(2)建系后，写出相关点的坐标，出平面EAC和平面PAB的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得．
18.【答案】解：(1)因为长轴长为4，故a=2，而离心率为 22，故c= 2，
故b= 2，故椭圆方程为：x24+y22=1．
(2)
由题设直线AB的斜率不为0，故设直线l:x=ty+2，Ax1,y1,Bx2,y2，
由x=ty+2x2+2y2=4可得t2+2y2+4t2y+4t2−4=0，
故Δ=16t4−4t2+24t2−4=48−4t2>0即− 2m，∴mn=6，∴n=6m，则4+6m=6m，
显然等式不成立，∴函数gx=4+6x不存在“优美区间”．

【解析】【分析】(1)函数解析式明确，区间确定，求值域即可证明；
(2)假设存在“优美区间”，则满足定义，以假设为已知，验证是否存在满足定义的值即可证明．