2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1−7i3−i=( )
A. 1−2iB. −12−52iC. 1+2iD. −12+52i
2.已知θ为第一象限角.若sinθ=35，则csθ=( )
A. −34B. 34C. −45D. 45
3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. m⊥α，m⊥β⇒α//βB. m⊥n，n⊥α⇒m//α
C. m⊥α，m⊂β⇒α⊥βD. m⊥α，n⊥α⇒m//n
4.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的正弦值是( )
A. 32B. 22C. 12D. 33
6.在△ABC中，若a=7，b=8，csB=17，则∠A的大小为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. π3或2π3
7.若a、b均是单位向量，且a⋅b=12，则|2a−3b|=( )
A. 7B. 7C. 6D. 6
8.在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB= 2，BC=2，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积等于( )
A. 6πB. 8πC. 10πD. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员8人，经培训后进行考核，所得分数(10分制)分别为7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为8B. 这组数据的众数为8
C. 这组数据的极差为2D. 这组数据的75%分位数为8
10.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有( )
A. AC⊥SB
B. AB//平面SCD
C. SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D. AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，则( )
A. 该圆台的高为1cm
B. 该圆台轴截面面积为3 3cm2
C. 该圆台的侧面积为6πcm2
D. 该圆台的体积为7 3π3cm3
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，若sinA=45，sinC=1213，a=1，则c= ______．
13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PD与平面PAB所成的角的大小为______．
14.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______．
15.已知向量a=(2,−1)，b=(1,λ)，若(a+2b)//(2a−b)，则实数λ=______．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
(1)写出表中M、p及图中a的值(不需过程)；
(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)上的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.(结果精确到0.01)
17.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2csA=2．
(1)求bc；
(2)若acsB−bcsAacsB+bcsA−bc=1，求△ABC面积．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
(1)求证：EF//平面PCD；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)若PA=AB，求二面角P−CD−A的大小．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：1−7i3−i=(1−7i)(3+i)(3−i)(3+i)=10−20i10=1−2i．
故选：A．
根据复数的四则法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由于θ为第一象限角．若sinθ=35，因为sin2θ+cs2θ=1，sinθ=35，所以cs2θ=1−925=1625，
所以csθ=45．
故选：D．
利用同角的平方和为1，结合θ为第一象限角，可求csθ的值．
本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：m⊥α，m⊥β⇒α//β，所以A选项正确；
m⊥n，n⊥α⇒m//α或m⊂α，所以B选项错误；
m⊥α，m⊂β⇒α⊥β，所以C选项正确；
m⊥α，n⊥α⇒m//n，所以D选项正确．
故选：B．
根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：依题意得：
某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，
欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，
则应抽取高三的人数为：18×700600+500+700=7．
故选：C．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查分层抽样相关知识，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接DC1，BC1，
∵几何体是正方体，
∴异面直线BD与AD1所成角，就是直线BD与BC1所成角，即∠DBC1，
∵△DBC1是等边三角形，
∴sin∠DBC1= 32．
∴异面直线BD与AD1所成角的正弦值为 32．
故选：A．
利用几何体是正方体，直接找出所求角，利用正方体的对角线的长度，求出直线直线BD与AD1所成角的正弦值即可．
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由正弦定理可得sinA，结合大边对大角可求A为锐角，利用特殊角的三角函数值可求A的值．
【解答】
解：∵a=7，b=8，csB=17，
∴sinB= 1−cs2B=4 37，
∴由正弦定理可得sinA=a⋅sinBb=7×4 378= 32，
∵a