2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1−7i3−i=( )
A. 1−2iB. −12−52iC. 1+2iD. −12+52i
2.已知θ为第一象限角.若sinθ=35，则csθ=( )
A. −34B. 34C. −45D. 45
3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. m⊥α，m⊥β⇒α//βB. m⊥n，n⊥α⇒m//α
C. m⊥α，m⊂β⇒α⊥βD. m⊥α，n⊥α⇒m//n
4.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的正弦值是( )
A. 32B. 22C. 12D. 33
6.在△ABC中，若a=7，b=8，csB=17，则∠A的大小为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. π3或2π3
7.若a、b均是单位向量，且a⋅b=12，则|2a−3b|=( )
A. 7B. 7C. 6D. 6
8.在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB= 2，BC=2，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积等于( )
A. 6πB. 8πC. 10πD. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员8人，经培训后进行考核，所得分数(10分制)分别为7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为8B. 这组数据的众数为8
C. 这组数据的极差为2D. 这组数据的75%分位数为8
10.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有( )
A. AC⊥SB
B. AB//平面SCD
C. SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D. AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，则( )
A. 该圆台的高为1cm
B. 该圆台轴截面面积为3 3cm2
C. 该圆台的侧面积为6πcm2
D. 该圆台的体积为7 3π3cm3
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，若sinA=45，sinC=1213，a=1，则c= ______．
13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PD与平面PAB所成的角的大小为______．
14.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______．
15.已知向量a=(2,−1)，b=(1,λ)，若(a+2b)//(2a−b)，则实数λ=______．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
(1)写出表中M、p及图中a的值(不需过程)；
(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)上的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.(结果精确到0.01)
17.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2csA=2．
(1)求bc；
(2)若acsB−bcsAacsB+bcsA−bc=1，求△ABC面积．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
(1)求证：EF//平面PCD；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)若PA=AB，求二面角P−CD−A的大小．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.A
6.B
7.A
8.B
9.ABC
10.ABC
11.BCD
12.1513
13.π4
14.3.5
15.−12
16.解：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，
得10M=0.25，解得M=40，
∴10+24+m+2=40，
解得m=4，p=mM=0.10，
∵a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
∴a=2440×5=0.12．
(2)∵该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：240×0.25=60．
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是15+202=17.5，
∵n=2440=0.6，∴样本中位数是15+0.5−0.25a≈17.10，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.10．
17.解：(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2csA=2，
根据余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
所以b2+c2−a2csA=2bccsAcsA=2bc=2，解得：bc=1；
(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可得acsB−bcsAacsB+bcsA−bc=sinAcsB−sinBcsAsinAcsB+sinBcsA−sinBsinC
=sin(A−B)sin(A+B)−sinBsin(A+B)=sin(A−B)−sinBsin(A+B)=1，
变形可得：sin(A−B)−sin(A+B)=sinB，即−2csAsinB=sinB，
而0