2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=a2−4+(a−2)i是纯虚数，则实数a=( )
A. 0B. ±2C. 2D. −2
2.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
3.已知圆M的圆心在曲线xy=2(x>0)上，圆M与直线x+2y+1=0相切，则圆M面积最小值为( )
A. 5πB. 2 5πC. 5πD. 10π
4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=1,C=π4，△ABC的面积S=2，则△ABC的外接圆的半径为( )
A. 4 5B. 2 5C. 5 2D. 5 22
5.已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x10，
所以C为锐角，
所以cs2A=2cs2A−1=18=csC，
因为A，C都为锐角，所以C=2A，故选项B正确；
选项C和D，由题意知，c最大，所以C最大，
而C为锐角，所以△ABC是锐角三角形，故选项C错误，选项D正确．
故选：BD．
利用正弦定理可判断选项A；利用余弦定理可求得csA和csC的值，再由二倍角公式，即可确定A，C关系，从而判断选项B；结合“大边对大角”以及余弦定理，可判断选项C和D．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】(0,1e2)
【解析】解：因函数y=x+a在(−∞,a]和y=lnx+2在(a,+∞)(a>0)均为增函数，
因此这两个函数在对应区间上的零点均至多有1个，
因f(x)有两个不同的零点，
因此函数y=x+a在(−∞,a]和y=lnx+2在(a,+∞)上分别有1个零点，
令x+a=0，得x=−a，因此−a≤a，即a≥0；
令lnx+2=0，得x=1e2，因此a0，因此a∈(0,1e2)．
故答案为：(0,1e2)．
利用函数的单调性可得分段f(x)在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域即可．
本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：由a1a3a11=a1⋅a1q2⋅a1q10=(a1q4)3=a53=8=23，所以a5=2，
则a2a8=a52=22=4．
故答案为：4
利用等比数列的通项公式化简已知条件，变形后即可求出数列第五项的值，然后根据等比数列的性质可知，所求的式子等于数列第五项的平方，把第五项的值代入即可求出值．
此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道中档题．
14.【答案】0.6 0.6
【解析】解：随机变量X服从两点分布，P(X=1)−P(X=0)=0.2，
根据两点分布概率性质可知：P(X=1)−P(X=0)=0.2P(X=1)+P(X=0)=1，
解得P(X=1)=0.6，P(X=0)=0.4，
所以E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6．
故答案为：0.6；0.6．
根据两点分布求解概率P(X=1)及数学期望E(X)即可．
本题主要考查了两点分布的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，属于基础题．
15.【答案】84；
96人．
【解析】(1)根据题意可知，在[40,80)内的成绩占比为0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10=0.70.8，
因此第80百分位数在[80,90)内，80+10×0.8−−0.7=84，
∴估计第80百分位数约是84；
(2)成绩不低于80分的频率为(0.025+0.005)×10=0.3，
则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：0.3×40100×800=96，
∴估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人．
(1)根据给定的频率分布直方图，结合第80百分位数的意义求得答案．
(2)求出成绩不低于80分的频率，估计高二年级男生中“优秀”等级的人数．
本题考查了频率分布直方图的性质，属于中档题．
16.【答案】an=12n−1；
17．
【解析】(1)由差数列{1an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，
当n=1时，1a1=S1=1，即有a1=1，
当n≥2时，1an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
即1an=2n−1，即an=12n−1．
(2)由anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
可得a1a2+a2a3+⋯+anan+1=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，
由题意可得n2n+1>1633，
解得n>16，
可得正整数n的最小值为17．
(1)利用数列的通项与前n项和的关系，可求出{1an}的通项，进一步可得到{an}的通项．
(2)写出数列{anan+1}的通项公式，利用裂项相消法求得{anan+1}的前n项和，依题解方程即得正整数n的值即可．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】证明见解析； 66．
【解析】(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E为PD的中点，
所以EF//AD,EF=12AD，
因为AD//BC，AD=2BC，
所以EF/​/BC，EF=BC，
所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC/​/BF．
又BF⊂平面PAB，EC⊄平面PAB，
所以EC/​/平面PAB．
(2)因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，即AB，AD，AP两两垂直，
故可以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，
因为PE=2ED，所以E(0,43,23)，
所以AC=(1,1,0),AD=(0,2,0),AE=(0,43,23)．
设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ACn⊥AE，则n⋅AC=x+y=0n⋅AE=43y+23z=0，
取y=1，得x=−1，z=−2，
所以n=(−1,1,−2)，.
因为AB⊥AD，AP⊥AD，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
所以AD=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量，
设平面EAC与平面PAB的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅AD||n|⋅|AD|=22 6= 66．
所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为 66．
(1)通过线线平行即可证得线面平行；
(2)建系后，写出相关点的坐标，出平面EAC和平面PAB的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得．
本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，中档题．
18.【答案】x24+y22=1；
5．
【解析】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1中，2a=4，所以a=2，
由e=ca= 22，得c= 22a= 2，
所以b2=a2−c2=2，椭圆的方程为x24+y22=1；
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx−2，
由y=kx−2x24+y22=1，消去y，整理得(1+2k2)x2−8kx+4=0，
所以Δ=64k2−16(1+2k2)=32k2−16>0，解得k 22；
由x1+x2=8k1+2k2，x1x2=41+2k2，
设直线l交x轴于点M，则M(2k,0)，
所以S△OAB=12|OM|⋅|y1−y2|
=12|2k|⋅|(kx1−2)−(kx2−2)|
=|x1−x2|
= (x1+x2)2−4x1x2
= 64k2(1+2k2)2−161+2k2
=41+2k2 2k2−1= 2，
解得k=± 62，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+32× 2= 5．
(1)由题意求出a，c，即可求出b2，直接写出椭圆的方程；
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，直线l的方程为y=kx−2，求出直线与x轴的交点坐标，由y=kx−2x24+y22=1，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，求出x1+x2与x1x2，计算S△OAB的面积，从而求出k的值，即可求出弦长|AB|．
本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】证明详见解析，
证明详见解析，
【解析】(1)证明：根据题意，函数f(x)=12x2为二次函数，在区间[0,2]上为单调增函数，
且f(0)=0，f(2)=12×4=2，即f(x)∈[0,2]，
故[0,2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”；
(2)证明：假设[m,n]是函数g(x)=4+6x的一个“优美区间”，
对于函数g(x)=4+6x，其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
则有[m,n]⊆(−∞，0)或[m,n]⊆(0，+∞)，
又由f(x)在[m,n]上递减，
则有4+6m=n4+6n=m，两式相减可得6m−6n=n−m，变形可得mn=6，
对于4+6m=n，变形可得4m+6=mn，即4m=0，不能成立，
故假设[m,n]是函数g(x)=4+6x的一个“优美区间”错误，则函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”．
(1)根据题意，由二次函数的性质分析可得f(x)在区间[0,2]上为单调增函数，求出f(x)的范围，即可得结论，
(2)根据题意，利用反证法证明：假设[m,n]是函数g(x)=4+6x的一个“优美区间”，分析g(x)的单调性，可得4+6m=n4+6n=m，联立两式整理变形可得矛盾，即可证明．
本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性以及值域，属于基础题．