人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理导学案及答案

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知识点一、空间向量基本定理
如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式.
知识点二、空间向量的正交分解
1.单位正交基底
空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示．
2.正交分解
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.
像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．
考点01 空间向量基底的概念及辨析
1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，
使得，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；
由于，则，，共面，故B错误；
由于，则，，共面，故C错误；
由于，则，，共面，故D错误；
故选：A.
2．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【详解】因为，所以，，共面；
因为，所以，，共面；
因为，所以，，共面；
因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底．
故选：D.
3．已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，因，
即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误；
对于B，因，
即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误；
对于C，不妨设，
则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确；
对于D，因，
即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误.
故选：C.
4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）
A．两两垂直B．
C．D．
【答案】A
【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量两两垂直，
所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则共线，
由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误；
对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误.
故选：A.
5．已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【详解】因为，，
两式相减得
所以与共面，
所以,不能构成空间的一个基底；
假设,不能构成空间的一个基底，则，
即，
整理得，
所以，该不等式无解，所以不存在使得，
故,能构成空间的一个基底；
同理，假设假设,不能构成空间的一个基底，则，
即，
整理得，
所以，该不等式无解，所以不存在使得，
故,能构成空间的一个基底；
故选：C.
考点02 用空间基底表示向量
6．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为N为BC的中点，则，所以，，
则，因此，．
故选：D
7．在正方体中，若为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C
8．在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】取线段的中点，因点是的重心，
则，
因，则
则.
故选：A.

9．在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．

【答案】
【详解】因为，
设，则，
由于四点共面，故，解得，
故，则．
故答案为：.
10．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 .
【答案】
【详解】设，
其中，为的中点，，
故,
所以，，
因为四点共面，所以，解得
故答案为：
考点03 利用空间向量基本定理证明位置关系
11．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法）
(1)求侧棱的长；
(2)若分别为，的中点，求证：．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则作为一组基
，
，
，
解得，所以；
（2）
，
所以，则
12．如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.

(1)用，，表示向量；
(2)在线段上存在一点，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【详解】（1）易知；
（2）易知，又；
所以；
不妨取，
可得
，
即可得，
所以.
13．如图，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且．求证：M，N，三点在一条直线上．

【答案】证明见解析
【详解】设，，，则．
又，所以，
．
因为，，
所以，
所以．
所以．可知．
又是直线和的公共点，
故和 共线，即M，N，三点在一条直线上．
14．如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．

【答案】证明见解析.
【详解】在平行六面体中，令，，，
则，，，
因此，
又，，
因此，
于是，即有，而与有公共点，
所以、、三点共线．
15．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，.
(1)用，，表示，；
(2)求证：，，，四点共面.
【答案】(1),
(2)证明见解析
【详解】（1），分别是，的中点，则且
所以，
，分别是，的中点，则且
（2），
，，
∴，
从而，，，四点共面．
16．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．
【答案】证明见详解
【详解】设，
由题意得，，，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
17．如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．

(1)用，，表示，，；
(2)若，用向量的方法证明∥平面．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，所以，
.
（2）因为，所以，
因为，所以，
设，所以由（1）可知，
解得，，，
向量，，共面，又平面，
所以平面.
考点04 应用空间向量基本定理求距离
18．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，
可得，
故
．
．
故选：A
19．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ）
A．2B．C．5D．
【答案】A
【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD，
所以，，，设，
因为，
，
，解得：，
故.
故选：A.
20．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在平行六面体中，取，，，
，，，
，，
而，
则
，即，
设，则，
由于与共面，
故存在实数，使得
，
故，解得，故，
故选：A.
21．已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ．
【答案】或
【详解】
以向量为基底，由题知：或，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴．
故答案为：或．
22．如图所示，平行六面体中，.
(1)用向量表示向量；
(2)求；
(3)求的长度.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在平行六面体中，
.
（2）因为，，，
所以，，
，
则
.
（3）因为，
所以
，
则.
考点05 应用空间向量基本定理求夹角
23．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记，则，
，
则，
，
，
设直线与所成的角为则
，
所以
故选：C.
24．已知在三棱柱中，，记，.
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱，
所以四边形为平行四边形，
又，
所以，
故，即.
所以四边形为矩形.
（2）由已知，
又，
；
同理，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
25．如图，在直三棱柱中，，，.
(1)用表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1），
故
；
（2）由（1）知，，两边平方得
因为三棱柱为直三棱柱，，
所以，故，
，
所以，
故.
因为，故，
设直线与直线所成角为，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
26．如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）由题意知，，，，
则，
，
所以
易错01 对基底理解不透测
1．（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底．
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABCD
【详解】对于①，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面，
又与共线，，所以不共面，
则也可作为空间的一个基底，故①正确；
对于②，因为，所以，与任何向量都共面，
所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确；
对于③，因为，，不能构成空间的一个基底，
所以，，共面，则，，，四点共面，故③正确；
对于④，因为是空间的一个基底，所以不共面，
又，所以不共面，
则也是空间的一个基底，故④正确.
故选：ABCD.
2．（多选）设，，，且是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】在平行六面体中，令，，，如图，
则，，，，
显然四点不共面，则向量也不共面，
同理和也不共面，
选项B，C，D都可以作为空间的一组基，
而点共面，则共面，选项A不能作为空间的一组基.
故选：BCD
刷基础
1．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ）

A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】C
【详解】因为，则，即，
因是的中点，则，
所以.
故选：C．
2．（多选）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对B，设，其中，
则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确；
对C，显然不存在实数使得成立，
则能构成空间向量的一组基，故C正确；
对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误.
故选：ABC.
3．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为、分别是、的中点，
则，，
所以，
故选：A.
4．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
.
故选：C
5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【详解】连接，因为是的中点，所以，
因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形为长方形，又因为是的中点，
所以，
则，
又，又，，不共面，所以，所以．
故选：D．
6．在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图，
由题意，得.
故选：C.
7．如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
故选：D
8．在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【详解】

如图，不妨取，则，，，
，，.
因为，
则
，故.
故选：A.
9．在平行六面体中，，，，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【详解】如图所示：

因为六面体是平行六面体，
所以，
则，
由，，，，，设，
故有：，
所以，
得，解得负值舍去
故
故选：B.
10．如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ．
【答案】/
【详解】，．
故答案为：.
11．如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．

(1)求证：四点共面；
(2)若且三点共线，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，由题可知，
则，
根据共面定理可得，，，四点共面．
（2）因为且，，三点共线，
由共线定理推论可得，则.
12．如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；
(2)求证：，；
(3)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），，
所以．
（2），所以，同理可证,所以：．
（3）设为异面直线与所成的角，
刷能力
1．已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】因为四边形为平行四边形，所以，相互平分于点，
可得，又为的中点，，
则．
又因为，，，四点共面，所以，即.

故选：B．
2．如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，

由四点共面，且四边形为正方形，
可得，
由，，设，
可得：，即，
根据四点共面，可得，
即，
设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，
所以，
，，
同理，，
，，
则四棱锥与四棱锥的体积比为.
故选：D.
3．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，
因为，，，四点共面，
所以存在实数，使，
所以，
所以
，
所以
，所以．
故选：B.
4．如图，在四棱台中，，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设，则平面，
故，
的最小值即为四棱台的高.
如下图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作平面，垂足为，连接，
则，，
因为，，故，
故，而，故，所以，
因为平面，故，而，
故平面，因平面，故，
故，故，即的最小值为，
故选：B.

5．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点，

在正三棱锥中，所以，
平面，又平面，所以，则.
又，
所以
，
所以当与重合时，取最小值0，
此时有最小值.
故选：C
6．已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，且，则 ．
【答案】16
【详解】设，，
又，其中，
故，，
又，
故
，
解得，所以．
故答案为：16
7．如图，已知斜三棱柱，，，点在底面上的投影恰为的中点，又知，求三棱锥的体积．
【答案】
【详解】以，，为基底，
则，
．
因为，
所以．
又，则，
由已知，，平面，
所以平面，
所以．
8．已知三棱锥，，，的长分别为1，2，3，且，，两两夹角均为60°，是三棱锥的重心，即，过点作平面，与直线，，分别相交于三点，且，，，求的值和的长度．
【答案】，
【详解】由，
可得，
整理得，
因为，，，四点共面，
根据共面定理的推论可得，
因为，，的长分别为1，2，3，且，，两两夹角均为60°，
所以，，
，
由，
得
，
所以．
刷期中期末真题
1．（2024·25高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A；
对于选项B，，故共面，排除B；
对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D．
对于C，，向量，而不与共面，故C正确.
故选：C.
2．（2024·25高二下·福建龙岩·期中）在三棱柱中，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选：C
3．（2024·25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，
，
令，则，
又，故点共面，
所以.
故选：B.
4．（2024·25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意有：，所以
，所以，故A正确；
，所以，所以
，
所以，故B错误；
由，，
所以
，所以，故C正确；
由，所以，故D正确；
故选：ACD.
5．（2024·25高二下·湖北·阶段练习）（多选）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体所得的截面面积为9D．存在实数使得
【答案】BD
【详解】对于A，连接，
因为分别为的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又易求得，
所以，所以不垂直于，
所以不垂直于，故A错误；
对于B，取的中点，连接，
由E、F、G分别为的中点，所以可得，
又平面，平面，所以平面，
又易得，又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，又，
所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确.
对于C，连接，因为E、F分别为的中点，
所以易得，且，则四点共面，
所以平面截正方体所得的截面为四边形，
由题意可得，
所以四边形为等腰梯形，所以梯形的高为，
所以四边形的面积为，故C错误；
对于D，易知，又因为E、F分别为的中点，
所以，且，则四点共面，
所以四边形为梯形，又为相交直线，
所以存在实数使得，又因为且，
所以，所以存在实数使得，故D正确.
故选：BD.
6．（2024·25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ．
【答案】
【详解】由题意有，，
所以
，
，
所以，又
，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
7．（2024·25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．

(1)试用 表示向量，，
(2)求；
(3)求证：
【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1），
.
（2）因为，
所以，
，

，
所以.
（3）因为．
所以.
8．（2024·25高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱锥中，点为的中点，，设
(1)试用向量表示向量;
(2)若，且， 求证: 平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）为中点，
，
，
；
（2）且，
为等边三角形且，
平面，
平面，
平面，
，
，
为重心，
同理可证，
平面，
平面.