2026年新高考数学专题复习学案 35.解三角形压轴中的四大神技

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 35.解三角形压轴中的四大神技，共6页。
1.秦九韶公式
二次边结构的出现自然联系到了在课本文化部分的秦九韶公式，秦九韶公式出现在人教版必修二教材的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题. 近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现，应该引起各位读者的注意.
秦九韶公式：.（凌晨讲数学）
将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：.
2.再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式.
（嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当
取等.上述两个背景给我们提供了足够解决二次边结构的范围问题的工具
3.托勒密不等式
若四边形对角互补，或者，则四点共圆.
4.米勒最大视角
米勒问题：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点，则
当在何处时，使得最大？
对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.
米勒定理：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点，
则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.
二．典例分析
例1.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
解法1：余弦配均值.
∵，∴，
∴由正弦定理得：，
即，，则，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为.
∵，∴，∴的最大值为.
解法2.秦九韶公式
解析：由于，∴，由正弦定理得：.
进一步可得：，，于是我们可以计算，其中为的面积，因为.根据秦九韶公式可知：
，代入已知条件可得
，即.
小结：由上述例子可以看到，秦九韶公式在处理齐二次边结构解三角形题目中的威力是巨大的，通过该公式，我们可以将所讨论问题转化为纯边结构来处理，最终通过目标函数或者重要不等式求得相关问题的解.
例2.（湖南省长沙市25届高三适应性考试）在中,角所对的边分别为,且外接圆半径为,则的最大值为 .
解析：首先，由三角形面积公式可得：，于是可得：
，另一方面，由嵌入不等式可得：
，于是可知：
当且仅当 时取等号.
例3.（2022四川预赛）若三角形的三边满足，则面积的最大值为________.
解析：方法1.（秦九韶公式）.由秦九韶公式可得:
，再代入已知条件得：
，由均值不等式取等号条件与二次函数取最值条件可知：当且
时取最值，即时，.
当然，此题还有一种更快的做法：嵌入不等式！
方法2.（嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当
取等.于是.
例4.（24届成都二诊T15）平面四边形中，则最大值为______.（凌晨讲数学）
解析：由题可知，由托勒密不等式可得：
，代入具体数字可得：，取等条件当且仅当
四点共圆.
例5.在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（ ）
解析：如图，可设，则，则由托勒密不等式可得：
，代值可得：，等号成立当且仅当四点共圆.
B．C．D．
例6.（2022南昌一模）已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________.
解析：如图，设D是圆上不同于点P的任意一点，连结DA与圆交于点E，连接
EC，由三角形外角的性质，可知，由圆周角定理：，
因此，当且仅当的外接圆与圆相切于点时，最大.
此时，可设的外接圆圆心，由于此时三点共线且
，而，则，解得：，
于是，由正弦定理，则的最大值为.
例7．（23届深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
解析：方法1.米勒圆
选择线路，以为弦的圆与相切于，连最大.所以甲带球至时，到达最佳射门位置.由切割线定理，得，即
，，所以甲带球码时，到达最佳射门位置.

选择线路，以为弦的圆与相切于，连最大.
所以甲带球至时，到达最佳射门位置，由切割线定理，得，即，所以甲带球码时，到达最佳射门位置.
方法2.代数方法
若选择线路，设，其中，，，则，，所以，
，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，直线的方程为，设点，其中，，，
所以，
，令，则，
所以，
，当且仅当时，即当，即当时，等号成立，当且仅当时，等号成立，此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.故答案为：；.