2026年新高考数学专题复习学案 41.三角形的重心与应用

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1.重心：三角形三条中线的交点.
2.重心是三角形中线上靠近底边的三等分点.
3.重心的向量形式
（1）重心为
证明：是所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明:作图如右，图中，连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
（2）是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明：
∵G是△ABC的重心∴=0=0，
即，由此可得.（反之亦然（证略））
4.重心的坐标形式（凌晨讲数学）
假设三角形三个顶点坐标分别为：，那么该三角形的重心坐标为：
证明：设重心，由，可得，故，所以重心
5.重心的一个重要特征
如图，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则.
证明：点G是的重心，知O，
得O，有.又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得，
有=，得，于是得
6.重心的距离最值：
在中，设点，到的3个顶点距离的平方和最小的点为的重心.
证明：设点，其中，
则

当且时，取得最小值，此时点为重心.
二．典例分析
例1．已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
解析：由题意得,，设，，，
点是的重心，，，
根据抛物线的定义可得.
故选：B.
例2．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于两点，且，，则的最小值为_________（凌晨讲数学）
解析；根据条件：，因为G是的重心，，
，又三点共线，.，
，当且仅当，即 时取等号成立.的最小值为，故答案为： ．
例3 ．在中，记为的重心，过的直线分别交边于两点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．B． C．D．
解析：
设为的中点，则，
又因为，所以，
因为三点共线，所以，所以；A错，
所以，所以，当且仅当时取等号；B对，
所以，
当且仅当时取等号；C对，
，当且仅当时取等号；D对，
故选：BCD
例4．如图，函数 的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则（ ）

A．B．C．D．
解析：根据题意可知，点是的一个对称中心，又直线交的图象于点，利用对称性可知两点关于点对称；不妨设，由重心坐标公式可得，又，即可得；由最小正周期公式可得，解得，即；将代入可得，又，所以；即，所以.故选：C（凌晨讲数学）
例5．已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为平面上一点，为的重心，则的面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：由：，则焦点坐标为1,0，设，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立，得，，则，，
由为的重心，则有，点到直线的距离为，
则
，故.故选：C.
例6．已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程.
解析：（1）因为过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形，
所以，即，所以抛物线C的方程为；
（2）由题可设直线，由，可得，则，即，设，，
又，，F恰为的重心，∴，即，所以，解得，满足，所以直线l的方程为，即.
例7．在△中，角的对边分别为，已知
(1)求 ;
(2)若 分别为边 上的中点，为 的重心，求 的余弦值.
解析：（1）因为，所以，即由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，因为
（2）设 ，依题意可得，所以
所以.
例8．已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点；
(3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围.
解析：（1）当时，，，所以，
由题意可知，，
所以，所以抛物线的方程为
（2）根据题意,设直线方程为,联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则.
即
化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点.
（3）如图，

设，因为为的重心，所以；因为，
且..；
所以；
设，与联立得：，所以，所以，则；所以；所以的取值范围为.
三．习题演练
1．直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（ ）
A．
B．
C．以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值
D．重心横坐标的最小值为
2．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 .
3．已知是的重心，的面积是，则的最小值是_______.
4．已知在中，角的对边分别为.若为的重心，则的最小值为___________.
参考答案
1.解析：A：易知直线与轴交于点，即，所以，解得，故A错误；
B：由选项A知抛物线，设，，
由，得，所以，
得，所以，故B正确；
C：设的中点为，则，，所以以为直径的圆的方程为，
即，设该圆与y轴交，，令，得，所以，，
所以，
所以以为直径的圆被y轴所截的弦长为，不是定值，故C错误．
D：由选项B知的重心的横坐标为，
当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD
2.解析：不妨取的中点.因为的重心为，且在中线上，
所以.由中点弦结论知，，
，，因为，所以，，又由，可得的外心为的中点，于是由中点弦结论知，又，所以，即.由得，，
解得，所以双曲线的离心率.

3.解析：如图，取的中点，连接.设的内角的对边分别为.
因为是的重心，所以在线段上，且.因为的面积是，所以，解得.因为是的中点，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，则.因为是的中点，所以，所以.
4.解析：由及可得，由正弦定理可得，
又，故，即，而，故；
由余弦定理得，故，故，当且仅当时，取等号；设为的中点，连接，则G在上，如图，则，，
由可得，则，
同理可得，故
，当且仅当时，取等号，故的最小值为，故最小值为.故答案为：