2026年新高考数学专题复习学案 32.辅助角公式的四种应用

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1.辅助角公式:形如的式子可做如下变换:
①
令
①式=,其中.
故，其中.
2.基于上面讨论，我们可以得到辅助角公式的四种常见应用：
应用1.解决形如函数的单调性，奇偶性，最值，周期性等
应用2.解决形如：函数的单调性，奇偶性，最值，周期性等
应用3.由于，其中.对于函数的某条对称轴：，代入上式可得：，由于
，这就给出了对称轴和系数之间的一个定量关系.
应用4.实际问题中的应用
下面，针对上述四类应用给出具体的例子来说明其用法.
二．典例分析
例1．已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若锐角，满足，，求.
解析：（1）,
因为，则，所以，所以.
（2）由第（1）问知，所以，
因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以
.
例2．已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
解析：（1）由题意：函数，
化简得：
，的最大值为1，，解得：．
（2）由（1）可知．根据三角函数的性质可得：．即，解得：，，的单调递减区间为.
例3．设函数，其中，已知．
（1）求；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的单调递减区间．
解析：（1）由得：
，，
由知，则，，故，，又，所以．
（2）由（1）知，由题意得．
由，，解得，，
所以的单调递减区间为（）．
例4．已知函数，设，则等于（ ）
A． B． C． D．
解析：，
，，，
，，
.故选：B.
例5．已知将函数的图像向右平移个单位长度（其中），得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
解析：，其中，．，其中，，∵将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，∴，∴，，
∴，，∴，
∵，∴．故选：B．
例6．函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：，其中，函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数为偶函数，则当时，，，即，则，，
，
即，因为，所以，，
所以，当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.故选：B
例7.已知，则下列说法正确的是___________
①．的最大值为
②．的最小正周期为
③．若在处取得最大值，且，则的取值范围为
④．若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根
解析：，其中，所以函数的最大值为，故选项A错误；因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，根据周期函数的性质知，的最小正周期为，故选项B正确；由函数在处取得最大值，所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，故选项C错误；
由及知，，所以，
即，若，则，
所以，即，无解，
所以关于的方程在无实数根，故选项D正确.故选：BD
例8.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．B．
C．D．
解析：如图所示： ．
连接，设，作，，垂足分别为．根据平面几何知识可知，，，．∴，．故四边形的面积也为四边形的面积，即有
，其中．所以当即时，．故选：D．
例9．如图，四边形是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在与上的矩形铁皮，求矩形铁皮面积的最大值和这时的值．

解析：作垂直于点，则，
所以，所以矩形铁皮面积，令，则，因为，所以，所以，所以，由二次函数性质可知，函数的图象开口向上，对称轴为，所以当，即时.当时，矩形铁皮面积最大，最大值为