2026年新高考数学专题复习学案 42.三角形的外心及应用

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1．外心：三角形三条中垂线的交点.外心
外心性质：如图，为的外心，证明：
（1）.；，同理可得等.
（2）.，同理可得等.
（3）.，同理可得等.
证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.
附：如图，直角三角形中，.
2.二次曲线背景下的外接圆问题也是很常见的圆锥曲线背景，通常情况下，我们有两种处理方式：
（1）.只告诉圆过的点，不知圆心.
此时，就需要利用外接圆圆心是中垂线的交点来计算，先算边长所在的方程，再算这条边的中垂线所在的方程，最后求出两条中垂线方程的公共解，即圆心坐标，即可解决.这种情况下，需要注意特殊的中垂线（垂直或者平行与坐标轴）.这种情况下，用两条中垂线来同构方程即可.
（2）.不仅告诉圆所过的点，还告诉了圆心的位置，或者也不知圆心位置，那么就可设出圆心坐标，利用圆的定义来完成，由于此时所过点相对于圆心的地位是等价的，所以，这类计算方法意味着可以同构运算！
二．典例分析
例1．已知是半径为2的圆的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆的一条直径
解析：对于A，作垂直于.垂足为，则 ,由正弦定理得 ，故,故A错误；
对于B，由得，，即,则点为的中点，即为圆的直径，故，B正确；
对于C，设，的夹角为 ，由得，，即 ，解得 或，由于，故，故，则，的夹角为，C正确；
对于D,由 得，
即，则为圆的一条直径，D错误，故选:BC
例2．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（ ）
A．B．6C．D．
【详解】因为，故由得，
由正弦定理得，又，故，
因为，所以，故，所以.
因为，
所以.在中余弦定理得，，所以.所以的面积为.故选：D.
例3．若是的外心，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【详解】如图所示：

设，， ，，由，
得，化简得，由是的外心可知，是三边中垂线交点，得，代入上式得
，所以，根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，.所以，
由柯西不等式可得：，所以，所以，
所以，当且仅当“”时，等号成立.所以的最大值为.故选：C.
例4．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为___________.
【详解】设点，则）根据点是的外心,，
而，则,所以,从而得到点的轨迹为，焦点为F1,0,由抛物线的定义可知，因为，，即，当点P在线段BF上时等号成立.
所以的最小值为3，故答案为：3
例5．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为________.
【详解】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：

因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，
所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).故答案为：
例6.（2025届高三T8联考）已知过两点的动抛物线的准线始终与圆
相切,该抛物线焦点的轨迹是某圆雉曲线的一部分.
（1）求曲线的标准方程;
（2）已知点,过点的动直线与曲线交于M,N两点,设的外心为Q,O坐标原点,问:直线OQ与直线MN的斜率之积是否为定值,如果是定值,求出该定值;如果不是定值,说明理由.
解析：（1）
（2）★算法1.求中垂线同构
设直线,代入椭圆方程可得
设,
则，的中点坐标为,则的垂直平分线的斜率为∴的垂直平分线方程为
.，即，由得
,∴的垂直平分线方程为.同理的垂直平分线方程为.设点,则是方程,
即的两根,∴两式相除得.即直线与的斜率之积为.
★方法2.设圆心同构
设圆心，则由，整理过程中，代入直线与椭圆方程可化简得：
，同理可得：
故，另一方面，由韦达定理可得：
，故而解得：，故，
即直线与的斜率之积为.
例7 .已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是双曲线上不同的三点，且两点关于轴对称，的外接圆经过原点.求证：直线与圆相切.
解析：（1）根据题意得，又，解得，
，所以椭圆的方程为，将代入圆的方程，
椭圆的焦点坐标为，长轴上两个顶点坐标为，依题意，设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程是，即.
（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，
联立，整理得，则，
由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，将代入圆的方程得，消去得，又，，
，化简得，，，
由，则原点到直线的距离，即直线与圆相切.
三．习题演练
1．已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A．B．50C．25D．
【详解】由已知，令，所以是等腰三角形．由余弦定理，得．因为，所以，解得（负值已舍去），所以．
设的外接圆半径为，因为，
所以，所以．由为等腰三角形知，
所以，即．所以．故选：B．
2．在中，设是的外心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】由题意是的外心，故，又，
所以
，则，所以，同理可得，故，所以，由于为内角，故，故选：B
3．在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数__________．
【详解】，又，故有，化简得，故有，
由，则有，即有，有，
，
由，故，故.故答案为：.
4.已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的方程.
解析：（1）由题意得：，得，又当时，，则，所以，即，所以椭圆的方程为.
（2）设过三点的圆的圆心为，，又，
则，即，又在椭圆上，故，代入上式化简得到：，①，同理，根据可以得到：，②，由①②可得：是方程的两个根，则，设直线：，联立方程：，整理得：，故，解得，所以，所以直线的方程为：.