2026年新高考数学专题复习学案 79. 圆锥曲线焦点三角形的25个常见结论

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焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
（1）. .
（2）. 焦点三角形的周长为
（3）..
（4）. 焦点三角形的面积为：.
①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.
②．S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.
（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.
（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
（8）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率
本节中约定已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
2．双曲线的焦点三角形
（1）.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.
（2）.如图，有，
（3）.离心率.
（4）.焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为.
（5）.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
（6）.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.
3.焦点四边形
如图，直线与椭圆交于两点，的左右焦点记为，则称为椭圆的焦点四边形.
性质1：为平行四边形.
性质2：.
性质3：任意两邻边之和为，▱周长恒为.（公众号：凌晨讲数学）
性质4：.等号成立当且仅当不存在.
性质5：当且仅当不存在时，取最大张角.此时，取最小值.
性质6：由平行四边形性质可得：
性质7：由余弦定理：
.由均值不等式：.则当且仅当时..
性质8：若四边形为矩形，则.由矩形性质可知，对平面内任意一点，有.（公众号：凌晨讲数学）
性质9：设的坐标分别为，则，.
性质10.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.
4．椭圆与双曲线共焦点
结论1：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
证明： 依题意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
二．典例分析
例1．（2021全国乙卷）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A
例2．（2021新高考1卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
例3．（2023新高考1卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，，解得或（舍去），故选：C.
例4．（2023全国甲卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：设，所以，
由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，
即，因此．故选：B．
例5．（2021全国甲卷）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，
所以， ，即四边形面积等于.
故答案为：.
例6．（2023新高考1卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
解析：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，故，
所以在中，，整理得，故.
例7．（2022新高考1卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是____________．
解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，
∴，∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
例8.（2024年新高考1卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为____________．
解析：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入，得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为：
下面是一些优质的模拟试题
例8．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为，则直线的斜率为；
③若（为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
解析：对于①中，如图（1）所示，根据椭圆的对称性，可得为的中点，且也是的中点，所以与互相平分，四边形为平行四边形，所以①正确；
对于②中，如图（2）所示，设，则，不妨设，
联立方程组，可得，则，
可得，即
所以直线的斜率为，所以②正确；
对于③中，如图（3）所示，不妨设点位于第一象限，因为，所以三点共圆，所以，可得，又由椭圆的定义得，所以，可得，
所以的面积为，所以的面积为，所以③错误；
对于④中，设，可得，可得，
又由，
可得，同理可得，要使得，则满足，即，因为，所以，解得，
又因为，所以，所以离心率可能为，所以④正确.故选：A.
例9．（2014年湖北卷）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
解析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，由柯西不等式得即（即，当且仅当时取等号，故选A
例10.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
解：如图所示：
设，由，代入焦半径公式到可得：.再由
.结合（1），（2）式可得，，故
，，这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:.
三．习题演练
1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B
2．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
解析：所以，
而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．
3．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，
由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，
设，因为，则，由勾股定理得，
即，整理得，故. 故选：A.
4.（2025浙江绍兴高三二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
解析：对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；同理，点在双曲线的右支上，则，即．所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．所以的最小值为10． 故选：C．
5．（2025广东广州高三二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意作出图形如图所示：

设，又，所以，
又，，所以，所以，又因为，所以，解得，所以，
在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，整理得，所以，解得.故选：D.
6．（2025广东高三一模）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，由椭圆的定义可得，所以，，
因为,由余弦定理可得
所以，整理可得，所以，即.
故选：A.
7．（2025山东济南高三一模）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C．内切圆半径的最大值为D．外接圆半径的最小值为1
解析
对于A，，故A正确；
对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误；
对于C，因为，，
当点在上顶点时，最大，所以，所以，
所以，所以由三角形相似可得，
设内切圆半径为，又，
所以内切圆半径的最大值为，故C正确；
对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确.故选：ACD
8．（2025辽宁沈阳高三一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对椭圆，易得，，，因为为短轴的一个端点，不妨设.设为椭圆上一点.

对A选项：因为，所以，且.
所以.
所以当时，取得最小值1，；当时，取得最大值4.所以.故A正确；
对B选项：当点与点重合时，，，
，所以不正确，故B错误；
对C选项：显然，因为，所以当，，三点共线时，，所以错误，故C错误；
对D选项：设，又，所以，.
又.
又.所以成立，故D正确.故选：AD
9．（2025广东高三一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为____________．
解析：如图，由双曲线的对称性可知，故，
设直线的方程为，，由得，由题意，，
，
整理得，由得，故直线的方程为，即，则，由题意，点到直线的距离为，
则，故答案为：