专题15 线和角（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4

这是一份专题15 线和角（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4，共16页。
（高频考点梳理＋重难点讲解＋同步练习＋答案）
【知识梳理】
1、直线的性质：两点确定一条直线。
2、线段的性质：两点的所有连线中,线段最短。可以简单说成：两点之间线段最短。
3、数线段的方法：
（1）方法一：定义法。
两个端点构成一条线段，通过定义找线段。
（2）方法二：画图法。
通过简单的连线画图来数线段。
（3）方法三：公式法。
①加法公式
首先数出线段由几个端点，然后从1＋2＋3＋……＋（n-1），其中n代表端点数量。
②乘法公式：
n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。
【例1】判断题，对的打√，错的打×。
（1）1条射线长8厘米。（ ）
（2）射线是直线的一部分，所以直线比射线长。（ ）
（3）如果一条线段上一共有6个点，则这6个点可以构成15条线段。（ ）
【解题分析】
（1）把线段的一端无限延伸，就得到一条射线。射线只有一个端点，它可以向一端无限延伸，不能度量长度，原题说法错误。
（2）直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不能度量长度。射线只有一个端点，它可以向一端无限延伸，不能度量长度，原题说法错误。
（3）从左边数第一个点可以引出5条不重复的线段，第二个点可以引出4条不重复的线段，第三个点可以引出3条不重复的线段，第四个点可以引出2条不重复的线段，第五个点可以引出1条不重复的线段，所以线段的总条数有：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）。原题说法正确。
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；
【例2】数一数，下面的图中直线有（ ）条，线段（ ）条，射线（ ）条。
【解题分析】
直线没有端点，它可以向两端无限延伸，直线只有1条；
射线只有一个端点，它可以向一端无限延伸，分别以A、B、C、D、E为端点各有2条射线，一共10条；
线段有两个端点，线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，一共10条。
【答案】1；10；10；
【例3】从甲地到乙地的地铁线路上共有10个车站（包括起点、终点），地铁公司要为乘客准备（ ）种不同的车票才能满足甲、乙两地途中所有乘客的需求。
【解题分析】
将这10个车站看成在一条线段上的10个点，甲地和乙地分别是线段的两个端点。根据数线段的方法可得，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（种），所以有45种不同的票价，但每种票价对应两种不同的车票（来和回两种），45×2＝90（种），所以应该准备90种不同的车票。
【答案】90；
【例4】“激光测距仪”可以测量物体与仪器之间的距离。激光测距仪发射出的激光可以近似看成（ ）。
A.线段 B.射线 C.直线
【解题分析】
线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。因为信号是从宇宙中的天体发射出来的，有一个起点，向无限远处延伸，所以可以近似看成射线。
【答案】B；
【例5】嘉嘉要从图书馆去食堂，走（ ）条路最近。
【解题分析】
从图书馆到食堂有4条路，根据“两点之间线段最短”可知，走②条路最近。
【答案】②
【练习1】数一数，下图中一共有（ ）条线段。
【练习2】李叔叔用2颗钉子把一根长木条固定在墙上，这是运用了（ ）的性质。
【练习3】先画一画，再回答问题。平面上有4个点，请你在每两个点之间画一条线段，一共可以画（ ）条线段。
【知识梳理】
【例6】同一个平面内有三条直线x、y、z，已知x⊥y，y∥z，那么直线x和直线z（ ）。
A.平行 B.垂直 C.无法判断
【解题分析】
根据平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。同一个平面内有三条直线x、y、z，已知x⊥y，y∥z，那么x⊥z。
【答案】B；
【例7】仔细辩一辩，对的打√，错的打×。
（1）过直线外一点A，可以画出无数条直线和已知直线平行。（ ）
（2）同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（ ）
（3）两条直线如果不互相平行，就互相垂直。（ ）
【解题分析】
（1）根据平行的性质：同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条，所以原题说法错误。
（2）假设有直线a、直线b和直线c，且a∥c， b∥c。那么在这个平面内，直线a和直线b无论怎样移动，它们都不会相交，因为它们与共同的平行线c保持着平行的关系，所以这两条直线也互相平行。原题说法正确。
（3）两条直线的位置关系只有平行和相交两种，而垂直只是相交关系中的一种特殊情况。两条直线如果不互相平行，它们可能相交，但不一定互相垂直，原题说法错误。
【答案】（1）×；（2）√；（3）×；
【例8】在同一个平面内，两条不重合的直线最多有1个交点，三条不重合的直直线最多有3个交点，那么六条不重合的直线最多有（ ）个交点。
A.9 B.12 C.15 D.18
【解题分析】
通过数交点的个数可以发现规律：n条不重合的直线最多有12n（n－1）个交点。所以六条不重合的直线最多有12×6×（6－1）＝15个交点。
【答案】C；
【例9】根据要求填空和作图。
（1）超市距离锦城小区的图上距离是2厘米，实际距离有1000米，则这幅图的比例尺是（ ）。
（2）电影院在锦城小区西北方向，距离锦城小区1500米处，请你在图中标出来。
（3）从电影院向锦城大道修一条最短的路，应该怎么修？请你在图中画出来。
【解题分析】
（1）超市距离锦城小区的图上距离是2厘米，实际距离有1000米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数值计算得
2cm∶1000m
2cm∶100000cm
＝2∶100000
＝（2÷2）∶（100000÷2）
＝1∶50000
（2）先根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出电影院距离锦城小区的图上距离。
1500m＝150000cm
150000×150000＝3（cm）
再结合电影院在锦城小区西北方向，据此标出位置；
（3）作出从电影院到锦城大道的垂线段，就是从电影院向锦城大道修的最短的路。
【解答】
（1）1∶50000；
（2）（3）作图如下：
【练习1】要从村庄A修一条路通到公路BC，其中最短的路线修法是（ ）。
A.AB B.AD C.AE D.AC
【练习2】按要求填空和作图。
（1）科技馆在博物馆东偏（ ）45°方向（ ）米处。
（2）在博物馆东面300米处，有一条小吃街与友爱路互相垂直。请你在图中画直线表示这条街，并标上“小吃街”。
（3）有一条商业街经过科技馆，并且与友爱路互相平行。请你在图中画直线表示这条街，并标上“商业街”。
【知识梳理】
1、角的意义：从一点引出两条射线，就组成一个角，这个点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。
2、角的分类：
3、角的大小与角的两边张开的大小有关，与角的两边长短无关。
【例10】判断题，对的打√，错的打×。
（1）一个三角形中，最多有1个角是钝角，最少有1个角是锐角。（ ）
（2）若现在是8时45分，再过15分钟，时针和分针第一次成直角。（ ）
（3）把一个平角分成两个角，如果其中一个是钝角，那么另一个一定是锐角。（ ）
【解题分析】
（1）直角三角形有一个角是直角，其它两个角都是锐角；锐角三角形的三个角都是锐角，钝角三角形其中一个角是钝角，其它两个角都是锐角，所以一个三角形中，最多有1个角是钝角，最少有2个角是锐角，原题说法错误。
（2）当时间是9时时，时针和分针第一次成直角。所以9时－8时45分＝15分。原题说法正确。
（3）平角是180°，90°＜钝角＜180°，用“180°－钝角”所得的角的度数小于90°，所以另一个角是锐角，原题说法正确。
【答案】（1）×；（2）√；（3）√；
【例11】当钟面上的时间显示3时30分时，时针与分针成（ ）°的角。
【解题分析】
钟面上1个大格的度数为：360°÷12＝30°。3时30分时，时针指向3和4的正中间，分针指向6，所以时针与分针之间的格子数为：6-3.5＝2.5（格）。则时针与分针形成的夹角为：30°×2.5＝75°。
【答案】75；
【例12】用一副三角板上的两个角，可以拼成下面的（ ）角。
A、115° B、125° C、135°
【解题分析】
一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。90°＋45°＝135°，所135°可以由90°和45°拼得。故选C。
【答案】C；
【练习1】在一幅比例尺是1∶20的图纸上画出一个零件的平面图的角是80°。则这个角实际是（ ）°。
A、20 B、40 C、80
【练习2】平角的70％是（ ），周角的89是（ ）。
【例13】将一张圆形纸片对折三次，得到的角的度数是（ ）。
A、45° B、60° C、120°
【解题分析】
将一张圆形纸片对折三次，相当于将一个周角平均分成8份，360°÷8＝45°。
【答案】A；
【例14】如图，如果∠2＝39°，∠1＝66°，则∠4＝（ ）°。
【解题分析】
∠3＝180°－∠1－∠2
＝180°－39°－66°
＝75°
因为∠4＋∠3＝180°，
所以∠4＝180°－75°＝105°
【答案】105；
【例15】如图，在直角梯形中，∠1＝82°，∠2＝35°，则∠4＝（ ）°。
【解题分析】
∠5＝180°－∠1－∠2
＝180°－82°－35°
＝63°
所以∠3＝180°－63°＝117°
因为∠4＋∠3＋∠6＋∠7＝360°，且∠6＝∠7＝90°
所以∠4＝360°－117°－90°－90°＝63°
【答案】63；
【练习1】在一个直角三角形，两个锐角的度数比是1∶4，则这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。
【练习2】根据图形填空
（1）如果∠2＝128°，则∠1＝（ ）°；
（2）如果AB＝AC，n＝106°，则∠1＝（ ）°。
【练习1】
【解题分析】
方法一：
根据线段的定义，可以直接数出线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条。
方法二：
线段有5个端点，根据加法公式：1＋2＋3＋……＋（n-1），其中n代表端点数量，可得1＋2＋3＋4＝10（条）。
【答案】10；
【练习2】
【解题分析】
题目中李叔叔用两颗钉子固定长木条，两颗钉子就相当于两个点，长木条可以看作是一条直线。这正是“两点确定一条直线”这一几何性质的体现。
【答案】两点确定一条直线；
【练习3】
【解答】
一共可以画6条线段。
【练习1】
【解题分析】
从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短，这条线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。所以要从村庄A修一条路通到公路BC，其中最短的路线修法是AE。
【答案】C；
【练习2】
【解题分析】
（1）
因为图上距离1厘米表示实际距离100米，所以科技馆与博物馆的实际距离是100×3＝300米，所以科技馆在博物馆东偏北45°方向300米处。
（2）因为图上距离1厘米表示实际距离100米，于是可求出博物馆与商业街的图上距离是300÷100＝3厘米，再依据过直线上一点作已知直线的垂线的方法，即可画出小吃街；
（3）根据过直线上一点作已知直线的平行线的方法，即可画出商业街；
【解答】
（1）北；300；
（2）（3）作图如下：
【练习1】
【解题分析】
比例尺是将长度尺寸是按比例缩小，而角的大小与边的长度无关，只与两边张开的程度有关，所以角的度数是不会变的。故选C。
【答案】C；
【练习2】
【解题分析】
平角＝180°，周角＝360°，根据求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法。
180°×70％＝126°
360°×89＝320°
【答案】126°；320°；
【练习1】
【解题分析】
直角三角形的两锐角和是90度，两个锐角的度数比是1∶4，即两个锐角共1＋4＝5份，先求出一份对应的度数，再分别乘两个锐角的份数即可。
90°÷ （1＋4）
＝90°÷5
＝18°
18×4＝72°
即这两个锐角分别是18°和72°。
【答案】18°；72°；
【练习2】
【解题分析】
（1）根据平角等于180°可知，∠2＋∠1＝180°，则∠1＝180°－128°＝52°；
（2）因为AB＝AC，所以这个三角形是一个等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和等于180°可得：∠1＝（180°－106°）÷2＝37°。
【答案】（1）52；（2）37；