人教版高考数学第二轮专项练习专题08三点共线充要条件（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题08三点共线充要条件（解析版），共9页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
1、设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与
,使得,且.特别地,当为线段的中点时,.
二、典型例题
1．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））如图，中，为上靠近的三等分点，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．D．
【答案】D
【解析】
由于为上靠近的三等分点，
故 ,
所以,
又因为点在线段上，所以 ，
故，
由题意可知 ，故，
当且仅当时，即 时，等号取得，
故选：D.
【反思】本题重点,,三点共线，可以得到且，所以本题中中的如何化简成才是本题的关键，又为上靠近的三等分点，故 ,所以得到这样，由,,三点共线，得到，进而才利用均值不等式求解最值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
又，不共线，所以，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【详解】
解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，
∴，当且仅当时取等号，
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
在三角形中，，，
可得,
因为，所以，所以.
故选：C.
4．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【详解】
设，
因为，所以，
则，
又因为，所以，解得.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为线段与线段交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得，
因为三点共线，设，
所以即，
所以，所以，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
6．（2021·四川成都·高三期中（文））如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】A
【详解】
为的重心，
又在线段上，
故选：．
7．（2021·山西大附中高三阶段练习（文））如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】
延长AG交BC与点H, H为BC中点,
为的重心，


三点共线
,
故选:
8．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意及图：,
又,所以,
所以,又,
所以，解得：.
故选：B.
二、填空题
9．（2021·湖南·周南中学高二开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于________．
【答案】##1:6
【详解】
解：由题意可知：，
而，，三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当，时等号成立，取到最小值，
此时，，
所以.
故答案为：.
10．（2021·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．
【答案】3
【详解】
解：设，由题意知，
，
由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，
从而消去，得．
故答案为：3
三、解答题
11．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
【答案】（1） ；（2） 证明见解析．
【详解】
（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得
．
由B，M，C三点共线可知，存在实数使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）证明：若，，则．
又因为E，M，F三点共线，所以．