人教版高考数学第二轮专项练习专题07 经典超越不等式（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题07 经典超越不等式（解析版），共11页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
(1)对数形式:,当且仅当时,等号成立.
(2)指数形式:,当且仅当时,等号成立.
进一步可得到一组不等式链：（且）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：
；
；
截取片段：
，当且仅当时,等号成立；
进而：当且仅当时,等号成立
二、典型例题
1．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
取，则，故A选项错误；
取，，，则B选项错误；
取，，则，，即，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式：，令，，
于是时，递增；时，递减；
所以时，有极小值，也是最小值，
于是，当且仅当取得等号，
由，当时，同时取对数可得，，
再用替换，得到，当且仅当取得等号，
由于，得到，，，即，
C选项正确.
故选：C.
【反思】对于指数形式:,当且仅当时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：
注意使用时的取值范围；
同样的还可以如下处理：两边同时取对数：，同样可以变形使用：
；
注意使用时的取值范围.
2．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)若对，都有，求实数a的取值范围；
(2)若a、，且，求证：对任意，都有：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)由时：
又：,
①若时，由，故，
所以对任意，都有：
此时函数在上单调递增，故对任意，都有：满足条件.
②若时，由，故：
故可得：
故函数在上单调递减，在上单调递增,
故：不满足条件，都有,
综上，实数a的取值范围为.
(2)由（1）可知，当时，对任意，都有：,
故对任意，都有：,
又a、，故对任意，都有：，
又，故：
故对任意，都有：.
【反思】注意在解答题中不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·广东韶关·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：当，又，所以，故
记，所以，
令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，即，当时取等号.
所以，
所以.
故选：C.
2．（2022·山西运城·（理））已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
令且定义域为，则，
所以上，递增；上，递减；
所以，即，又，恒成立，
所以命题p为假命题，命题q为真命题，则为真命题，为假命题，
故为真，、、为假.
故选：A.
3．（2021·广东肇庆·）下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于A：令，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，
所以，故A正确；
对于B：令，
，
所以在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
所以，
所以，
所以，，故B正确；
对于C：令，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），
所以，
所以，
所以，故C正确；
对于D：取，得，故D错误，
故选：D
4．（2021·安徽·东至县第二中学（理））下列不等式正确的个数有（ ）个.
①；②；③
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】
对于①，令，，则在上递减，在上递增，，
，即，①正确；
由知，恒成立，则有，即成立，②正确；
对于③，令，，即在上单调递减，
而，则，
所以有，③正确.
故选：D
5．（2020·黑龙江哈尔滨·（理））下列四个命题中的假命题为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】
构造函数，，所以在区间上，递减，在区间上，递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即在上恒成立，将改为，则有在上恒成立.所以AB选项为真命题.
当时，，，此时，所以D选项为真命题.
构造函数（），，所以在区间上，递增，在区间上，递减，所以在处取得极大值也即是最大值，所以，即在上恒成立.所以C选项为假命题.
故选：C
6．（2019·湖北·（文））下列不等式中正确的是
①；②；③.
A．①③B．①②③C．②D．①②
【答案】B
【详解】
对于①：令，则恒成立，
则是减函数，所以有恒成立，
所以成立，所以①正确；
对于②：，令，，
当时，，当时，，
所以函数在上是减函数，在上是增函数，
所以在处取得最小值，所以，
所以成立，所以②正确；
对于③，，，令，有，
所以有当时，，当时，，
所以函数在时取得最大值，即，
所以，恒成立，所以③正确；
所以正确命题的序号是①②③，
故选B.
7．（2020·全国·（理））已知命题：，，命题：，，则下列命题正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：令 ，时， ，所以f(x)在 单调递增， ，p真；
令 ， ，
，所以 在 恒成立，q假；故选C.
8．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练习（理））设，，，（其中自然对数的底数）则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
构造函数，，，所以在上递增，在上递减，所以，即.
令，则，，，考虑到，可得，即，化简得等号当且仅当时取到，故时，排除A，B.下面比较a，b大小，由得，，故.所以.
故选:D
9．（2022·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.
设,则,
在(0,1)上，,单调递减;在(1,+∞)上，,单调递增.
故,
∴恒成立，且当且仅当时取等号.
由,
由已知，
∴，且，
解得,
经检验只有B正确，
故选：B.
二、填空题
10．（2020·广东·高三阶段练习）已知函数的反函数为，若实数m、n满足，则 ____．
【答案】1
【详解】
依题意，，
设，则，易知时，递减，时，，递增．所以，即，所以，
令，则，于是有，即，所以．
由不等式，，得，，
又，故，，故，，即．
故答案为：1．
11．（2020·北京·中关村中学）已知函数，，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【详解】
令，
则，当时，
所以在单调递增，所以
所以
由，所以当时，
故若，使
转化为，
则，即
令，
若时，，若时，
所以函数在递增，在递减
所以
所以，即
故答案为：
三、解答题
12．（2022·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
(1)
解：令，则有.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递减，上单调递增，
所以，即.
所以.
(2)
解：令，则.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递增，上单调递减，
所以，即，
所以.
(3)
解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.
由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②
因为①式与②式取等号的条件不同，所以.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
(3)证明不等式：.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2)0.(3)证明见解析.
(1)
解：，， 由得，
当时，.
函数的单调增区间为，单调减区间为.
(2)
解：函数， ，
，令，得.
时，，时，，
在递减，在递增，，
关于的方程有解，则实数的最小值为0.
(3)
证明：由（2）得在上恒成立，
令，则有 ，
，，，， ，
，
.x
-
0
+
极小值