人教版高考数学第二轮专项练习专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件（解析版），共12页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2、设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
3、奔驰定理
奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则.
说明：
本定理图形酷似奔驰的车标而得名.
奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
①是的重心.
②是的内心.
③是的外心.
④是的垂心.
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.
二、典型例题
1．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B
【反思】设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则为的内心.利用结论可直接得到为的内心.
2．（2021·全国·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，
∴，
又，可得=-，∴=-，
∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.
【反思】设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则为的重心.利用结论可直接得到为的重心.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
【答案】ABCD
【解析】
解：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；
对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；
对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；
对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；
由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选：ABCD．
【反思】设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
4.已知是的重心，且满足，则= .
【答案】
【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.
【解析】∵是的重心，∴
∴
∴
由正弦定理，
由余弦定理，
∵，∴ .
【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：是的重心，可得到，通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【详解】





在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.
故选：B.
2．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】D
【详解】
因为，所以，
以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示：
则，所以，点O是AB边的中点，
所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，
同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，
所以G点是三角形ABC的重心.
故选：D.
3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【详解】
因为（），
所以，
所以在的边AB上的中线所在直线上，
则在的中线所在直线上，
所以点的轨迹一定过的重心，
故选：C
4．（2021·全国·高一课时练习）若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
【答案】C
【详解】
设线段BC的中点为D，则有)，
因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则，
因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线，
因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心．
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）设是平面上一定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
【答案】B
【详解】
因为，
所以，
如图，设都是单位向量，则由向量的加法法则可得四边形AETF是菱形，
所以，平分，
所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．垂心
【答案】A
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
二、多选题
7．（2021·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是外心B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心D．若，则I是内心
【答案】ABC
【详解】
根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
8．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．若三点共线，则存在实数使
【答案】AD
【详解】
解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；
对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；
对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；
对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确．
故选：AD．
9．（2021·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心．
B．若，则点O是的内心．
C．若，则点O是的外心．
D．若，则点O是的垂心．
【答案】ABCD
【详解】
对A，设为中点，由于，所以为边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是的重心，故A正确；
对B，向量分别表示在边AC和AB上的单位向量和 ，记它们的差为向量 ，则当时，即时，点O在的平分线上，同理由可得点O在的平分线上，所以点O是的内心，故B正确；
对C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是另一条对角线，则由可得该平行四边形为菱形，即，同理由可得 ，所以点O是的外心，故C正确；
对D，由得，则，所以，同理可得，所以点O是的垂心，故D正确.
故选：ABCD.
三、填空题
10．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
设BC的中点为D，
∵，
∴，
即，两端同时点乘，
∵= ===0，
所以，
所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
故答案为：④.
四、解答题
11．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点（也称为三角形的重心），且点将每条中线分为的两段（如图，）．设三个顶点分别为，，，求证：
(1)点的坐标为；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
设， ，且为中点，
又，
的坐标为
(2)
为中点，