专题05 三点共线的充要条件 -高中数学必备考试技能（原卷版）学案

结论五：三点共线的充要条件

结

论

(1)设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.

解

读

三点共线充要条件的这种表示法的得到可以看成是：的一个变形式，即(O为平面内任意一点)。

典

例

7．已知为的中线，点是的中点，过点的直线分别交边、于、两点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

解

析

反

思

本题考查利用三点共线求参数，考查了结论“若、、三点在一条直线上，点在直线外，则存在实数、，使得，且”的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.本题中先证明出结论：若、、三点共线，且为直线外一点，，则.计算得出，由题意得出，以此可得出，利用三点共线的结论得出，进而可求得实数的值.

针对训练*举一反三

1．在三角形ABC中，E､F分别为AC､AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是(  ),

A．C可能是线段AB的中点               B．D可能是线段AB的中点

C．C、D可能同时在线段AB上            D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

5．（多选题）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（    ）

A．当时，

B．当P是线段的中点时，，

C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．的最大值为

6．已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.

7．已知等差数列的前项和为，若（向量、不平行），、、共线，则_________．